用 Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近 似值并估计误差 解:先构造差分表 f(x;) 4(V2(V243(V32(4(V 00000 0,00500 0.99500 0.009 -0.01493 0.98007 0.00980 0.00012 -0.02473 0.00025 -0.00002 0.95534 0.00955 0.00010 0.03428 0.00035 0.00001 0.92106 0.00920 0000g 0.04348 9,0522 [Q85284 计算 cos0.048,x=0.048,k=0.1,t= X 0.48 ,用n=4得 Newton前插 公式 1(x0=2)=6+462+4(-D+领 t(t-1(-2)+=0t(t-1)(t-2)(t-3 2 4 1.0000+048-0.00500-0.521 2-1.52/000013 0.00993 252×0012 误差估计由公式(5.17)得 R4008)1≤42(-1)(-2)(2-3(-4≤15845×107 其 中M5=in0.6=0.565 计算cs0566时用 Newton后插公式 (5.18)x=056060t
用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近 似值并估计误差 解：先构造差分表 计算 ，用 n=4 得 Newton 前插 公式 误差估计由公式（5.17）得 其中 计 算 时 用 Newton 后插公式 （5.18)
co0.5660M(x+1)=6+Va+(+1)+-2t(+1(+2)+≤< t(t+1)(t+2)(t+3) =082534-034×-005224+0.66x(-0006+166×1 0.00044266 0.00009 0.84405 误差估计由公式(5.19)得 M 风4(0566-≤23( t+1)(+2)(+3(+4)2≤17064×10 这里仍为0.565 8.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 p0=p(0=0,p(1)=p(1)=1,p(2)= 解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处 可先造3(x使它满足 P20)=0,23()=p2()=1,显然2(x)=x(2-x),再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A=,于是 p(x)=x(2-x+1(x-131=12(x-32 9.令 ()-1r,、(n20称为第二类 Chebyshev多项式试 求的表达式,并证明是[-1,1]上带权-1x的正交 多项式序列。 解:因21(x)=c(2+1) arccos x
误差估计由公式（5.19）得 这里 仍为 0.565 8． 求一个次数不 高于四次的多项 式 p(x), 使它满足 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处 可先造 使它满足 ，显然 ，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是 9. 令 称为第二类 Chebyshev 多项式，试 求 的表达式，并证明 是［-1,1］上带权 的正交 多项式序列。 解：因
n+121(x)=9(n+1acox 令x=cos日 ∫4(x,(03-x=”:(+9m(m+1B n≠ =22 10.用最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式,使它拟合 下列数据,并计算均方误差 19.0323490733978 解:本题给出拟合曲线=a+bx2,即%x)=1吗(x)=x,故法方 程系数 (qq)=∑听(x)=5 (,q)=2=532吗)=∑呀=7277699 (卿y)=2y1=2714(吗,y)=∑明y=3693215 法方程为 a+5327b=2714 5327a+7277699b=369321.5 解得a=09726045.b=050051 最小二乘拟合曲线为y=09726045+0050051x2 均方程为 =Dv-(gy)-b(1y)=00150321 ib 0.1226
10. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它拟合 下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线 ，即 ，故法方 程系数 法方程为 解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为
11.填空题 (1)满足条件0-11(1)(的插值多项式 p(x)=(). (2)f-2+5,则f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5] (3)设x=0234为互异节点,x为对应的四次插值基函 数,则 (x+2)2(x) (4)设(x)=0是区间[0,1]上权函数为p(x)=x的 最高项系数为1的正交多项式序列,其中吗()-1,则x( (),吗2(x)=() 答 (1)2(x)=(2x+1)(x-1 (2)J1234]=212.34,5=0 ∑0=0∑(x+21(x)=x+2 (3) Jo xpE(x)dx 0.k≠0 63 第4章数值积分与数值微分 习题4
11. 填空题 (1) 满 足 条 件 的插值多项式 p(x)=( ). (2) ,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］ =( ). (3) 设 为互异节点， 为对应的四次插值基函 数，则 ＝( )， ＝( ). (4) 设 是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的 最高项系数为 1 的正交多项式序列，其中 ，则 ＝( )， ＝( ) 答： （1） （2） （3） （4） 第 4 章 数 值 积 分与数值微分 习题 4
1.分别用复合梯形公式及复合 Simpson公式计算下列积分 dx.n=8 4+ 解本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合 Simpson 公式(6.13)直接计算即可。 对(=4+x,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。 按式(6.11)求出7=01404,按式(6.13)求得4=0111724 积分2=4+x=0117 2.用 Simpson公式求积分“,并估计误差 解:直接用 Simpson公式(6.7)得 。e= =0.63233 由(68)式估计误差,因(x)=∵“()=,故 ≤3.5×10 180 18016 3.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量 高,并指明求积公式所具有的代数精确度 (1)5(dx4(0)+B(x)+(0 (2)2(xxAJ()+4(0)+A1() (3)J,f(x)dx s Af(-h)+Bf(x1) 解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式 的参数。 (1)令f(x)=1x,x代入公式两端并使其相等,得
1. 分别用复合梯形公式及复合 Simpson 公式计算下列积分. 解 本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合 Simpson 公式（6.13）直接计算即可。 对 ，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。 按式（6.11）求出 ，按式（6.13）求得 ， 积分 2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得 由（6.8）式估计误差，因 ，故 3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1) (2) (3) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式 的参数。 （1）令 代入公式两端并使其相等，得