《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第9章 重积分 Ch 9-3,4 三重积分

例2.计算三重积分「=J dv，其中Q为锥面Q与平面z=c所围成的第一卦限部bCazt分的立体解：空间区域Q在yoz平面的投影为：h(y,z)/0≤≤=z,0≤z≤c-1:. 2Q=3(x,y,z)/0≤ x≤a/(z/c)2 -(y/b)2,0≤y≤=z,0≤z 1CV(=/c)2-(y/b)1vd7xdx36Oe000x机动目录上页下页返回结束

例2. 计算三重积分 dv z x y I   = 2 2 2        +       =      b y a x c z       =   z  z  c c b D y z y yz ( , ) | 0 ,0 , 其中Ω为锥面 2 2 ( , , ) | 0 ( ) ( ) ,0 ,0 b x y z x a z c y b y z z c c    =   −         2 2 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 1 1 36 bz c a z c y b c I dz ydy xdx a b c z −  = =    解: 空间区域Ω在yoz平面的投影为: 与平面 z = c 所围成的第一卦限部 分的立体. x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

J.z?dxdydz,例3.计算三重积分D0C222VxZ其中Q≤1.X+2aCbya-C≤≤czx解：2:.222XZ<用“先二后一”2Cadxdydz=[°2?dz(dxdy2DJ2-C247元abod元ab15CO0000?机动目录上页下页返回结束

x y 例3. 计算三重积分 z 解:  :  =  z d xd y d z 2 − = − c c z c z 2 z ab(1 )d 2 2 2  − c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz +  − Dz d xd y − c c z d z 2 3 15 4 =  abc a b c 用“先二后一 ” Dz z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注：一般来说,若被积函数只含有一个变量,可考虑先对另外两个变量求重积分（该重积分即为截面面积），然后再对该变量求定积分命题：若积分区域2是绕z轴旋转而成的旋转体时，(1)将向z轴投影得投影区间[c，d](2)任给zE(c,d),过(0,0,z)作z轴的垂直平面,该平面截Q得平面区域 D(z),则[5] f(x, y,z)dy = " dz JJ f(x, y,z2)dxdy2D(=)Oe000x机动目录上页下页返回结束

命题: 若积分区域Ω是绕z轴旋转而成的旋转体时, (1)将Ω向z轴投影得投影区间[c , d] (2)任给z∈(c,d),过(0,0,z)作z轴的垂直平面,该平面 截Ω得平面区域 D(z), 则     = ( ) ( , , ) ( , , ) D z d c f x y z dv dz f x y z dxdy 注:一般来说,若被积函数只含有一个变量,可考虑先对 另外两个变量求重积分(该重积分即为截面面积),然后 再对该变量求定积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束