方法2.截面法（“先二后一”）Zb(x,y)eDz2a≤z≤bZ以D,为底,dz为高的柱形薄片质量为y(JJ, f(x, y,z2)dxdy )dzx该物体的质量为面密度~JJJ,f(x,y,z)dvf(x, y,z) dxdyJ"(J, f(x, y,z)dxd y)dz记作['d J , (x,y,z2)dxdyO0000?机动自录上页下页返回结束
a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ( = b a DZ f (x, y,z)d xd y DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f x y z dxdy ( , , ) 面密度≈ )dz 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法3.三次积分法zi(x, y)≤z ≤z2(x,y)设区域Q：)e D: [y(x)≤y≤ y2(x)(x, y)a≤x≤b利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得JJ,(x, ,z)dvhy2(x)dx(x, y,z)dzaX投影法.1[fof(x,y,2)dvdxd(x, y,z)dzO000X机动自录上页下页返回结束
投影法 方法3. 三次积分法 设区域 : 利用投影法结果 , a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z z x y 把二重积分化成二次积分即得: = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z ( ) ( ) 2 1 d y x y x y = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数在积分域上变号时，因为f(x,y,z)[f(x,y,z)|+ f(x,y,z)lf(x,y,z)[- f(x,y,z)22= fi(x, y,z) - f2(x, y,z)均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算Oe00x机动目录上页下页返回结束
当被积函数在积分域上变号时, 因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结：三重积分的计算方法方法1.“先一后二dxdz)dz[fof(x,y,z)dv=JD方法2.“先二后一h[,(x, ,z)dv=dzf(x, y, z)dxdya方法3.“三次积分"hy2(x[qf(x,y,z)dv=dxy,z)d zyi(x)a三种方法(包含12种形式)各有特点，具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择O0000?机动自录上页下页返回结束
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
J.例1.计算三重积分xdxd ydz,其中Q 为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域(0≤z≤1-x-2y7解: Q:0≤y≤(1-x)人0≤x≤1xdxd ydzy91xdxdz0010(1-xd-x-2y)dyxJO0012x2+xdx48o00008机动目录上页下页返回结束
例1. 计算三重积分 d d d , 其中 为三个坐标 x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: : xd xd y d z − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y −x− y z 1 2 0 d = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0 z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1 y − x 0 x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束