第八章刚性方程组及其数值计算 武汉大学数学与统计学院
第八章 刚性方程组及其数值计算 武汉大学数学与统计学院
考虑如下线性常微分方程组 y=My 3 y∈R y(0)=(2,1,2), 其中 0.1-4990 M=0-50 070-30000 这里矩阵M的特征值为 1=-0.1,2=-50,3=-30000
考虑如下线性常微分方程组: 3 , , (0) (2,1, 2) , T y My y R y = = 其中 0.1 49.9 0 0 50 0 0 70 30000 M − − = − − 这里矩阵M的特征值为 1 2 3 = − = − = − 0.1, 50, 30000
上述初值问题的精确解是: y1()=e01+c-501 2(4)=e-507 y3(t)=e-30+ 30000t 显然当t→+∞时解的各个分量y(1),i=1,2,3 是指数衰减的并趋于稳态解(1,y2,y3)=(0,0,0) 1(D),y2(D),y3(t)趋于稳态解(0,0,0)的速度是 由因子e1决定的
上述初值问题的精确解是: 0.1 50 1 50 2 50 30000 3 ( ) , ( ) , ( ) . t t t t t y t e e y t e y t e e − − − − − = + = = + 显然当 t → + 时解的各个分量 ( ), 1, 2,3 i y t i = 是指数衰减的,并趋于稳态解 1 2 3 ( , , ) (0,0,0). y y y = 1 2 3 y t y t y t ( ), ( ), ( ) 趋于稳态解 (0, 0, 0) 的速度是 由因子 0.1t e − 决定的
假如试图利用四级 Runge-Kutta方法求解上述初 值问题要求计算直至得到符合精度要求的稳态 解为止我们讨论计算过程可能遇到的问题 一稳定性要求 1|≤278,z=1,2,3 2.78 123|=30000∷h< 10 30000 二为使解充分接近稳态解只需要 0.1t )0 →t4O
假如试图利用四级Runge-Kutta方法求解上述初 值问题,要求计算直至得到符合精度要求的稳态 解为止.我们讨论计算过程可能遇到的问题: 一.稳定性要求: 4 3 2.78, 1, 2,3. 2.78 30000 10 . 30000 h i i h − = = 二.为使解充分接近稳态解只需要: 0.1 0. t e − → 0.1 4 40. t e e t − −
t>40 N是计算步数 4040 →N> 4×10 h10 而实际上t>1后 N>1O4 e30,e300u经不起作用了! 往后的计算我们当然希望使用大步长!但由 于稳定性要求,仍要用小步长从而耗费了巨 大的计算量,并且误差积累的影响也随着计 算步数的增加越来越严重
而实际上 t 1 后 50 30000 , t t e e − − 已经不起作用了!!! 5 4 40 40 40 4 10 10 t N h − = 往后的计算我们当然希望使用大步长!但由 于稳定性要求,仍要用小步长.从而耗费了巨 大的计算量,并且误差积累的影响也随着计 算步数的增加越来越严重. N是计算步数 4 N 10