武汉大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 常微分方程初值问题的单步法

阶常微分方程初值问题的数值方法 单步法 武汉大学数学与统计学院

一阶常微分方程初值问题的数值方法 ------单步法 武汉大学数学与统计学院

阶常微分方程初值问题的一般形式是: ∫y=f(x ,少),a<x<b D={(x,y)a≤x≤b,csy≤d}

一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y a y D x y a x b c y d   =     = =    

称(x2y)在区域D上对y满足 Lipschitz 条件是指: 彐L>Os,t f(x, yi)-f(x,y2<Ly-y2 Vx∈[a,b],y,y2∈[e,d

称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . ( , ) ( , ) , [ , ], , [ , ] L s t f x y f x y L y y x a b y y c d   −  −   

利用 Picard逼近容易证明 Th若(x,y)在区域D上连续, 且对y满足 Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[a,b]上存在唯 的连续可微解y

• 利用Picard逼近容易证明: Th1 若f(x,y)在区域D上连续, 且对y满足Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[a,b]上存在唯一 的连续可微解y

利用 Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: Th2设f(x,y)在D上连续,且对y满足 Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 「y′=f(x,y),a<x<b y(a)=S 的解,则有 y(x,S1)-y(x;s,)≤el(x-a)\s,-S小

利用Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: ( ) 1 2 1 2 2 ( , ) ( ; ) ( ; ) . L x a Th f x y D y x s y x s e s s −     −  − 设 在 上连续,且对y满足Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y =f(x,y),a<x<b y(a)=s 的解,则有