回代过程:xn=bm)/am j=i+1 (L=n 定理:若4的所有顺序主子式均不为0,则高斯消 去法能顺序进行消元,得到唯一解。 det(A)
( ) ( ) / n nn n xn = bn a ( 1, ..., 1) ( ) 1 ( ) ( ) = − − = = + i n a b a x x i i i n j i j i i j i i i 定理：若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消 去法能顺序进行消元，得到唯一解。 i ii i i a a a a A ... ... ... ... ... det( ) 1 11 1 = 回代过程：
二、选主元消去法 在高斯消去法消去过程中可能出现qk=0的情况,这时 高斯消去法将无法进行;即使主因素a≠0但很小 其作除数,也会导致其它元素数量级的严重增长和舍 误差的扩散 为避免这种情况的发生,可通过交换方程的次序,选取 绝对值大的元素作主元基于这种思想导出了主元素法
二、 选主元消去法 为避免这种情况的发生, 可通过交换方程的次序，选取 绝对值大的元素作主元. 基于这种思想导出了主元素法 在高斯消去法消去过程中可能出现 的情况，这时 高斯消去法将无法进行；即使主因素 但很小， 其作除数 ，也会导致其它元素数量级的严重增长和舍 误差的扩散 ( ) 0 k kk a = ( ) 0 k kk a
列主元消去法 在第/步消元前,在系数矩阵第刚列的对角线以 下的元素中找出绝对值最大的元。 a4|=max|ak|≠O 眷pk,交换第k个与第p个方程后,再继续消去计算 这种方法称为列主元 Gauss消去法。 列主元 Gauss消去法保证了|lk|≤1 i=k+1k+2…,n)
❖ 列主元消去法 在第k步消元前，在系数矩阵第k列的对角线以 下的元素中找出绝对值最大的元。 | | max | | 0 pk k k ik k i n a a = 若p≠k，交换第k个与第p个方程后，再继续消去计算. 这种方法称为列主元Gauss消去法。 列主元Gauss消去法保证了｜lik｜≤1 (i=k+1,k+2,…，n)
冷全主元消去法 在第/步消去前,在系数矩阵右下角的n-k+1 阶主子阵中,选绝对值最大的元素作为主元素。 a|= max a≠0 k≤i,j≤n (1)Ifp≠ k then交换第k行与第p行; Ifq≠ k then交换第k列与第q列; (2)消元 注:列交换改变了x的顺序,须记录交换次序, 解完后再换回来
❖ 全主元消去法 在第k步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1 阶主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。 (1) If p k then 交换第 k 行与第p行; If q k then 交换第 k 列与第 q 列; (2) 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序， 解完后再换回来。 , | | max | | 0 pq k k ij k i j n a a =