4 5、提示(1)若imf-|=A,vE>0,36>0,当-δ<x<0时 于是当y-δ 时,(y)-A<E 、提示若n>m时,证明 mP()+g(o)=1 1-+o a,ff(o) 2i-1 n(n+1)-n /(2) 2i 因为f(x)~x(x→>0),VE>0,丑N,n>N1≤i≤N 2i-1 E 于是 -42n 第四章测试题 1、x=0为可去间断点:x=k(k=±1,+2,…)为第二类间断点 2、(1)可用反证法证明∫(x)+g(x)在点x不连续。但∫(x)g(x)可能在点x处连续,例 f(x=x,g(x)= xx≠O. xo (2)都无法断定f(x)+g(x)和f(x)·g(x)的不连续性,例如
4、 . 3 4 5、提示 （1）若 , 0, 0 1 lim 0 = → − A x f x ，当 − x 0 时， A x f − 1 ，设 x y 1 = 于是当 1 y − 时， f (y) − A . 6、提示 若 n m 时，证明： 1. ( ( )) ( ( )) ( ( )) lim 0 = + → n n t t a f t P f t Q f t 7、（1） 1. ( 1) 2 2 1 2 2 1 1 2 = + − = − = − = = n n n n n i n n i n i n i （2） = = − − − − = n i n i n a n i a n i x a f 1 2 1 2 2 1 2 1 = − − − n i a n i a n i f 1 2 2 2 1 2 1 = − − − − = n i a n i a n i f a n i 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 因为 f (x) ~ x(x →0), 0,N,n N,1 i N, 1 , 2 1 2 1 2 2 − − − a n i a n i f 于是 = = − − n i n a a n i x a 1 2 . 2 1 第四章测试题 1、 x = 0 为可去间断点； x = k(k = 1,2, ) 为第二类间断点。 2、（1）可用反证法证明 f (x) + g(x) 在点 0 x 不连续。但 f (x) g(x) 可能在点 0 x 处连续，例 0. 0, 0, , 0, 1 sin ( ) , ( ) 0 = = = = x x x x f x x g x （2）都无法断定 f (x) + g(x) 和 f (x) g(x) 的不连续性，例如
1,x≥0, g(x) 0 3、提示im1+ V6-1 x2-h2 4、提示 lim loga h gee 5、提示若x∈[b]时,过(x0)作平行于y轴的直线与△ABC相交,△ABC中位于此直 线左面那部分面积记为F(x),于是有F(a)=0,F(b)=S,S为△ABC的面积。设法证明F(x)是x 的连续函数,利用介值定理可以证明本题 6、提示(1)利用不一致连续的正面陈述来证明:(2) lim x cos-=0 7、提示由lm[(x)-(x)=0,可得f(x)-(x)在[+∞)上一致连续 (B) 1、x=0为第二类间断点:x=±-(n=1,2,…)为跳跃间断点。 提示 +b =lm1+a(a2-1)+b(b2-1)+c(c2-1) 3、提示mm(2+)=lml1+ k 4、提示(①)→(2)。先设a=1≤k<2,用数学归纳法证明 kx+(2”-k)x2)6/(x)+(2”-A)f(x2) 对任意0<a<1,可设取a=k,ma=a,然后用连续性得证。 5、提示由题设f()>0,取E<f(),由mf(x)=03x>0,当>X时,f(x)<E
0. 1, 0, 1, 0, ( ) 1, 0, 1, 0, ( ) 0 = − = − = x x x g x x x f x 3、提示 ( ) a n b b a n n n n n n n a b a b 1 1 1 lim 1 1 lim 1 − − → → − = + − + 4、提示 − − → → = − − 2 2 2 2 1 2 2 0 1 2 2 2 0 lim log lim log 1 h x x a h h a h x h x x h log . 1 2 e x = − a 5、提示 若 xa,b 时，过（ x,0 ）作平行于 y 轴的直线与 ABC 相交， ABC 中位于此直 线左面那部分面积记为 F(x) ，于是有 F(a) = 0,F(b) = S ，S 为 ABC 的面积。设法证明 F(x) 是 x 的连续函数，利用介值定理可以证明本题。 6、提示 （1）利用不一致连续的正面陈述来证明；（2） 0. 1 lim cos 0 = → + x x x 7、提示 由 lim ( ) − ( )= 0 →+ f x x x ，可得 f (x) −(x) 在 a,+) 上一致连续。 （B） 1、 x = 0 为第二类间断点； ( 1,2, ) 1 = n = n x 为跳跃间断点。 2、提示 x x x x x a b c a b c 1 1 1 1 0 lim + + + + + + + → x x x x x a b c a a b b c c 1 0 ( 1) ( 1) ( 1) lim 1 + + − + − + − = + → . ln a b c a b c a b c e + + = 3、提示 . 1 1 tan 1 2tan lim 1 1 4 lim tan 2 e n n n n n n n = − = + + → → 4、提示 (1) →(2) 。先设 m m k k a ,1 2 2 = ，用数学归纳法证明 . 2 ( ) (2 ) ( ) 2 (2 ) 2 1 2 1 2 m m m m m k x k x k f x k f x f + − − + 对任意 0 a 1 ，可设取 a a k a i i m i i i = = → ,lim 2 ，然后用连续性得证。 5、提示 由题设 f (0) 0 ，取 f (0) ，由 lim f (x) 0, X 0 x = →+ ，当 x X 时， f (x)
然后在[X,只]上应用连续函数最大、最小值定理 6、提示(1)讨论F(x)=√f(x)+(x-x)在[上的最小值。(2) lim F(x)=lim F(x)=+oo 设法证f(x)在[a,b)上递增,不然的话 彐a≤x1<x12<x,f(x)>f(x2),f(x2)<f(x3)在(x1,x)上函数f可以取到最小值,与所设矛盾。 第五章测试题 (A) 3 a=cosc. b=sinc-ccosc 4、(1)否; (2)是。 6、提示当x≠0,设g(x)=f(x),有 f(x) f() 7、解(1)f(x)=sn( marcsnx) f(x)=cos(marcin x) f()=-sin(marcin)I- +mcs( marcsinx (1-x)f(x)=-m2'sin(marcsinx)+mcos(arcsin x) rf'(x)=_cos(marcin x)mx f(x)=m sin( 上面三式相加,有 )f"(x)-xf(x)+mf(x)=0 (2)把上面方程两边求n阶导数,应用莱布尼茨公式后有 rm(x1-x)+nm(x-2x)+mn=D)r(x(2 fm(x)·x-n(x)+m2f"(x)=0
然后在 − X, X 上应用连续函数最大、最小值定理。 6 、提示 （ 1 ）讨论 2 0 2 F(x) = f (x) +(x − x ) 在 a,b 上 的 最 小 值 。（ 2 ） = = + →+ →− lim F(x) lim F(x) x x 。 7 、提示 设法证 f (x) 在 a,b) 上 递 增 ， 不 然 的 话 ， , ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 3 a x x x f x f x f x f x .在 ( , ) 1 3 x x 上函数 f 可以取到最小值，与所设矛盾。 第五章测试题 （A） 2、 (0) = 0, (0) =1. + − f f 3、 a = cosc,b =sin c −ccosc. 4、（1）否； （2）是。 6、提示 当 x 0 ，设 x f x g x ( ) ( ) = ，有 = = (0), 0. , 0, ( ) ( ) f x x x f x g x 7、解 （1） f (x) = sin(marcsin x), , 1 ( ) cos( arcsin ) 2 x m f x m x − = . ( 1 ) ( arcsin ) 1 ( ) sin( arcsin ) 2 3 2 2 x x mcs m x x m f x m x − + − = − = − − = − − − = − + ( ) sin( arcsin ). , 1 cos( arcsin ) ( ) , 1 (1 ) ( ) sin( arcsin ) cos( arcsin ) 2 2 2 2 2 2 m f x m m x x m x mx xf x x x x f x m m x m m x 上面三式相加，有 (1 ) ( ) ( ) ( ) 0. 2 2 − x f x − xf x + m f x = （2）把上面方程两边求 n 阶导数，应用莱布尼茨公式后有 − − − − + − + + + ( )( 2) 2 ( 1) ( )(1 ) ( )( 2 ) ( 2) 2 ( 1) ( ) f x n n f x x nf x x n n n ( ) ( ) ( ) 0, ( 1) ( ) 2 ( ) − + = + f x x nf x m f x n n n