假定在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实,相应地有Nz个价电子 那么该系统的哈密顿量为: H=∑ 2 ∑ 了4n0V n=l 2 ∑ 4风-R 1 Ze 48 R =T +Ue, )+i,+Um (R, R )+Uen li, R,) 哈密顿量中有5部分组成,前两项为NZ电子的动能和电子之间的库仑相互 作用能,三、四项为N个离子实的动能和库仑相互作用能第五项为电子与离子 实之间的相互作用能 体系的薛定谔方程Hv(F,R)=Ev(GF,R)
假定在体积V=L3 中有N 个带正电荷Ze 的离子实，相应地有NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为: 哈密顿量中有5 部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子之间的库仑相互 作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑相互作用能,第五项为电子与离子 实之间的相互作用能。 体系的薛定谔方程 ( ) ( ) ( ) ( ) e ee i j n nm n m en i n NZ i N n i n m n n m N n n i j i j NZ i i T U r r T U R R U r R r R Ze R R Ze r r m e m H , , ˆ , ˆ 4 1 4 1 ' 2 1 4 2 1 ' 2 1 2 ˆ 1 1 2 , 0 2 0 1 2 2 , 2 1 0 2 2 = + + + + − − − + − ∇ − = − ∇ + ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ = = = = πε πε πε ( , ) ( , ) Hˆ r R r R ψ = εψ
但这是一个1023cm3量级的非常复杂多体问题 不做简化处理根本不可能求解 1)首先应用绝热近似,考虑到电子质量远小于离子质量,电子运动速度远高 于离子运动速度,故相对于电子的运动,可以认为离子不动,考察电子运动时,可 以不考虑离子运动的影响,取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问 题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为: 月=2+UnG,元)+mG,) 2)多电子体系中由于相互作用,所有电子的运动都关联在一起,这样的系统 仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似,让其余电子对一个电子的相互作用等价 为一个不随时间变化的平均场,即平均场近似: UmG,)=∑ 264丌 =∑u(G)
但这是一个 1023cm-3 量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 1）首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高 于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可 以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问 题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为： 2）多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在一起，这样的系统 仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其余电子对一个电子的相互作用等价 为一个不随时间变化的平均场，即平均场近似： ( ) ( ) e ee i j en i Rn H T U r r U r , , ˆ = ˆ + + ( ) ∑ ∑ ( ) = = − = NZ i e i NZ i j i j ee i j u r r r e U r r , 1 2 4 0 1 2 1 , πε
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和 ∑"v2+uG)∑ 2m 万-R 由分离变量法,可得到所有电子都满足同样的薛定谔方程,从而使一个多 电子体系简化为一个单电子问题。因此平均场近似也称为单电子近似。 h U,()v()=Ew(r) 单电子所受的势场为: ()=(G) 1 Ze 4丌E 无论电子之间相互作用的形式如何,都可以假定电子所感受到的势场具有 平移对称性(周期场近似): +R)=(G)
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和： 由分离变量法，可得到所有电子都满足同样的薛定谔方程，从而使一个多 电子体系简化为一个单电子问题。因此平均场近似也称为单电子近似。 单电子所受的势场为： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有 平移对称性（周期场近似）： ∑ ( ) ∑ = = − = − ∇ + − NZ i N n i n i e i r R Ze u r m H 1 1 2 0 2 2 4 1 2 ˆ πε ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U r r E r m i i ψ = i ψ − ∇ + ( ) ( ) ∑ − = − Rn i n e r R Ze U r u r 2 4 0 1 πε U(r R ) U(r) n + =
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似,复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题, 单电子薛定谔方程为: +U()()=Ev() 2m 其中: UG+)=(G) 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程,讨论其解的物理意义,确定晶体中电子的 运动规律是本章的主题
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题， 单电子薛定谔方程为： 其中： 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义，确定晶体中电子的 运动规律是本章的主题。 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U r r E r m ψ = ψ − ∇ + U(r R ) U(r) n + =
从以上讨论中,可以看到能带论是在三个近似下完成的 Born- Oppenheimer绝热近似: Hatree-Fock平均场近似(单电子近似) 周期场近似( Periodic potential approximation) 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动,因此每个电子的运动都 可以单独考虑 所以,能带论是单电子近似的理论。尽管能带论经常处理的是多电子问题, 但是,多电子是填充在由单电子处理得到的能带上。可以这样做的原因就在于 单电子近似,即每个电子可以单独处理。用这种方法求出的电子能量状态将不 再是分立的能级,而是由能量上可以填充的部分(允带)和禁止填充的部分 (棼带)相间组成的能带,所以这种理论称为能带论
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的： Born－Oppenheimer 绝热近似： Hatree－Fock 平均场近似（单电子近似） 周期场近似(Periodic potential approximation)： 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每个电子的运动都 可以单独考虑。 所以，能带论是单电子近似的理论。尽管能带论经常处理的是多电子问题， 但是，多电子是填充在由单电子处理得到的能带上。可以这样做的原因就在于 单电子近似，即每个电子可以单独处理。用这种方法求出的电子能量状态将不 再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分（允带）和禁止填充的部分 （禁带）相间组成的能带，所以这种理论称为能带论