2.5平面向量应用举例 以本为本·孤以】1 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P109~112,思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题? (2)如何用向量方法解决物理问题? (3)如何判断多边形的形状? [新知初探] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题 (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题 3)把运算结果“翻译”成几何关系 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中 (3)动量m是向量的数乘运算 (4)功是力F与位移s的数量积 [小试身手] 1.若向量OF=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示两个力F,F,则|F+F为() A.(0,5) B.(4,-1) 答案:D 2.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是() A.直角梯形B.菱形 C.矩形D.正方形
2.5 平面向量应用举例 预习课本 P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ [新知初探] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积． [小试身手] 1．若向量 OF1 ＝(2,2)，OF2 ＝(－2,3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．(4，－1) C．2 2 D．5 答案：D 2．在四边形 ABCD 中， AB · BC ＝0， BC ＝ AD ，则四边形 ABCD 是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
答案:C 3.力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对质点P做 的功是 答案:-11 学用结合·通技 课堂讲练设计,举一能通类题 题型一 燕向量在几何中的应用 题点一:平面几何中的垂直问题 1.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE 证明:法一:设AD=a,AB=b, 则|a=|b 又DE=DA+AE=-a+=b, AF=AB+ BF=bt-a, 所以F·DE=(+2),(-+ b+=b2 la|2+a|b2=0.故 AF⊥DE,即AF⊥DE 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0, F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2) 因为AF·DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE 题点二:平面几何中的平行(或共线)问题 2.如图,点O是平行四边形ABC的中心,E,F分别在边CD 求证:点E,O,F在同一直线上 证明:设AB=m,AD=m 由 小AF_1如F分别是CD,AB的三等分点, Fo-FA+A0=BA+AC
答案：C 3．力 F＝(－1，－2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s＝(3,4)，则力 F 对质点 P 做 的功是________． 答案：－11 向量在几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设 AD ＝a， AB ＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又 DE ＝ DA ＋ AE ＝－a＋ 1 2 b， AF ＝ AB ＋ BF ＝b＋ 1 2 a， 所以 AF · DE ＝ b＋ 1 2 a · － a＋ 1 2 b ＝－ 1 2 a 2－ 3 4 a·b＋ 1 2 b 2＝－ 1 2 |a| 2＋ 1 2 |b| 2＝0.故 AF ⊥ DE ，即 AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)， AF ＝(2,1)， DE ＝(1，－2)． 因为 AF · DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以 AF ⊥ DE ，即 AF⊥DE. 题点二：平面几何中的平行(或共线)问题 2. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD， AB 上，且CE ED ＝ AF FB ＝ 1 2 . 求证：点 E，O，F 在同一直线上． 证明：设 AB ＝m， AD ＝n， 由 CE ED ＝ AF FB ＝ 1 2 ，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点， ∴ FO＝ FA ＋ AO ＝ 1 3 BA ＋ 1 2 AC
n+(m+n)=-m+-n, OE= 0C+CE=AC+-CD (m+ n)--m-mton FO=OE 又0为FO和OE的公共点,故点E,O,F在同一直线上 题点三:平面几何中的长度问题 3.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC 的长 解:设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b, 而|BD|=|a-b=√a-2a·b+b=y1+4-2a·b=5-2a·b=2 ∴5-2a·b=4,∴a·b=,又AC12=|a+b2=a+2a·b+b=1+4+2a·b=6, AC|=V,即AC=V6 题通店 用向量方法解决平面几何问题的步骤 〔平面几何问题)建立平面几有与向量的联系,用向量表 C向量问题将平面几何问题转化为向量问题 向量运算}(通过向量运算,研究几何元素问的关系 几何关系(用运算结果判断几何问题中的关系 题型 悬麦向量在物理中的应用 [典例](1)在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? (2)已知两恒力F=(3,4),F=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点 B(7,0),求F,F分别对质点所做的功 [解](1)如图,设AB表示水流的速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际 垂直过江的速度 因为AB+AD=AC,所以四边形ABCD为平行四边形
＝－ 1 3 m＋ 1 2 (m＋n)＝ 1 6 m＋ 1 2 n， OE ＝OC ＋ CE ＝ 1 2 AC ＋ 1 3 CD ＝ 1 2 (m＋n)－ 1 3 m＝ 1 6 m＋ 1 2 n. ∴ FO＝OE . 又 O 为 FO 和 OE 的公共点，故点 E，O，F 在同一直线上． 题点三：平面几何中的长度问题 3.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长． 解：设 AD ＝a， AB ＝b，则 BD ＝a－b， AC ＝a＋b， 而| BD |＝|a－b|＝ a 2－2a·b＋b 2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ 1 2 ，又| AC | 2＝|a＋b| 2＝a 2＋2a·b＋b 2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴| AC |＝ 6，即 AC＝ 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质点所做的功． [解] (1) 如图，设 AB 表示水流的速度， AD 表示渡船的速度， AC 表示渡船实际 垂直过江的速度． 因为 AB ＋ AD ＝ AC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,所以∠CAD=30° 即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30° (2)设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为∥=F·s AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15) ∴=R·AB=(3,4)·(-13,-15) 3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), =F2·AB=(6,-5)·(-13,-15) 6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦) [一题多变] 1.[变设问]本例(2)条件不变,求F,F的合力F为质点所做的功 解:Ⅳ=F·AB=(F+F)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·( 13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦) 2.[变条件]本例(2)条件变为:两个力F=计+jF=4i-5j作用于同一质点,使该质 点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求: F,F分别对该质点做的功 解:AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), F做的功=F·s=F·AB=(1,1)·(-13,-15)=-28(焦) F做的功=F·s=F·AB=(4,-5)·(-13,-15)=23(焦) 类题通法 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 把物理问题中的相关量用向量表示 触他){您向量的模型,通过向量的运算 还原 把结果还原为物理问题 多练提能·熟生巧 课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.已知三个力f=(-2,-1),f=(-3,2),f=(4,-3)同时作用于某物体上一点 为使物体保持平衡,再加上一个力f,则f=() A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 解析:选D由物理知识知f+f+f+f=0,故f=-(f+f+f)=(1,2) 人骑自行车的速度是v,风速为v,则逆风行驶的速度为()
在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，| DC |＝| AB |＝12.5，| AD |＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°. (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. ∵ AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W1＝F1· AB ＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2· AB ＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一题多变] 1．[变设问]本例(2)条件不变，求 F1，F2 的合力 F 为质点所做的功． 解：W＝F· AB ＝(F1＋F2)· AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－ 13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)． 2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： F1，F2 分别对该质点做的功． 解： AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， F1 做的功 W1＝F1·s＝F1· AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F2 做的功 W2＝F2·s＝F2· AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)． 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 层级一 学业水平达标 1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点， 为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4＝( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：选 D 由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )
B.十 解析:选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为+.注意速度是有方向和大小 的,是一个向量. 8.已知四边形D各顶点坐标是(-1,一341,3(-2(-2=2 则四边形ABCD是() A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 菱形 解析:选A∵AB DC=(3,4) AB==DC,∴AB∥DC,即AB∥DC 又|AB|=/+4=10 9=3,|DC|=v+16=5, ∴AB|≠DC|,∴四边形ABCD是梯形 4.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=√5,AC·AB=5,则AC的长为( D.4 解析:选B∵BD=AD-AB=2AC-AB AC-AB AC2-AC·AB+AB2 即AC2=1.:|AC|=2,即AC=2 5.已知△ABC满足AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:选C由题意得,AB2=AB·AC+AB·CB+CA·CB=AB·(AC+ B)+CA·CB=AB2+CA·CB, CA·CB=0,∴CA⊥CB, ∴△ABC是直角三角形. 已知力F=(2,3)作用于一物体,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则力F对物体
A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. v1 v2 解析：选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1＋v2.注意速度是有方向和大小 的，是一个向量． 3．已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A －1，－ 7 3 ，B 1， 1 3 ，C － 1 2 ，2 ，D － 7 2 ，－2 ， 则四边形 ABCD 是( ) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 解析：选 A ∵ AB ＝ 2， 8 3 ， DC ＝(3,4)， ∴ AB ＝ 2 3 DC ，∴ AB ∥ DC ，即 AB∥DC. 又| AB |＝ 4＋ 64 9 ＝ 10 3 ，| DC |＝ 9＋16＝5， ∴| AB |≠| DC |，∴四边形 ABCD 是梯形． 4．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5，AC · AB ＝5，则 AC 的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B ∵ BD ＝ AD － AB ＝ 1 2 AC － AB ， ∴BD 2―→＝ 1 2 AC － AB 2＝ 1 4 2 AC － AC · AB ＋ 2 AB ， 即 1 4 2 AC ＝1.∴| AC |＝2，即 AC＝2. 5．已知△ABC 满足 2 AB ＝ AB · AC ＋ BA · BC ＋ CA·CB ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选 C 由题意得， AB 2＝ AB · AC ＋ AB ·CB ＋ CA·CB ＝ AB ·( AC ＋ CB )＋ CA·CB ＝ AB 2＋ CA·CB ， ∴ CA·CB ＝0，∴ CA ⊥ CB ， ∴△ABC 是直角三角形． 6．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F 对物体