高中数学必修4第二章平面向量教案(12 课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概 念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具向量概念引入后,全等和平行(平 移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景在本章中, 学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍 了向量的一些基本概念.(让学生对整章有个初步的、全面的了解.) 第1时 §2.1平面向量的寥院背录基本概念 教学目标: 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共 线向量 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路 情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向
高中数学必修 4 第二章平面向量教案（12 课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概 念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平 移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中， 学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍 了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第 1 课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共 线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、 A B C D
有长短的量 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习 (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向 量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小 2向量的表示方法: ①用有向线段表示 (终点) ②用字母a、b A(起点) (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ④向量AB的大小一一长度称为向量的模,记作AB 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度 向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量 就是相同的向量 (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段 4、零向量、单位向量概念 ①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的 注意0与0的含义与书写区别 ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量
有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O，这是它们是不是平行向量？这时各向 量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为 0 的向量叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. A(起点) B （终点） a
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小 5、平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量:②我们规定0与任一向量平行 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥ b∥c 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等 (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 向线段的起点无关 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的 起点无关) 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量 可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系 (四)理解和巩固 例1书本86页例1 例2判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例3下列命题正确的是() A.日与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确:由于数学中研究的向量是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平 行四边形的四个顶点,所以B不正确:向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否 相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考 虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定 0 与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关 ．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的 ．．．．．． 起点无关） ．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量 可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例 3 下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量， 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平 行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否 相同无关，所以Ｄ不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考 虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都
共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C 例4如图,设O是正六边形 ABCDEF的中心,分别写出图中与向量OA、OB、OC相 等的向量 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?(CB、DO,FE) 课堂练习 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由 ①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上 ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等 ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=D ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0 ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同 解:①不正确共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 AB、AC在同一直线上 ②不正确单位向量模均相等且为1,但方向并不确定 ③不正确零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确⑥ C 不正确如图AC与BC共线,虽起点不同,但其终点却相 2.书本88页练习 三、小结: 1、描述向量的两个指标:模和方向 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比 3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点 四、课后作业 书本88页习题21第3、5题 第2爆时
共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C. 例 4 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相 等的向量. 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（ CB, DO, FE ） 课堂练习： 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB ＝ DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB 、 AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥ 不正确.如图 AC 与 BC 共线，虽起点不同，但其终点却相 同. 2．书本 88 页练习 三、小结 ： 1、 描述向量的两个指标：模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业： 书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题 第 2 课时
§22.,1向的加踏算其几何窥义 教学目标: 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解 决问题的能力 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 教学难点:理解向量加法的定义 学法 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移 的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法,让学生顺理成章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路 、设置情景: 1、复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此,我们研 究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下,移到任何位置 2、情景设置: (1)某人从A到B,再从B按原方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (3)某车从A到B,再从B改变方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:AB+BC=AC 探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解 决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （3）某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和： AB + BC = AC 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C C A B A B C A B C