第三节平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [考纲传真]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题 课前」知识全通关 夯实基础·扫除盲点 KEQIAN 向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的 夹角,向量夹角的范围是0°,1809,其中当a与b的夹角是90时,a与b垂直, 记作aLb,当a与b的夹角为0时,a的b,且a与b同向,当a与b的夹角为 180°时,ab,且a与b反向 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为O,则数量如 bl cose叫做a 定义与b的数量积或内积,记作ab规定:零向量与任一向量的数量积为 投影|@s叫做向量a在b方向上的投影; bcosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何 数量积ab等于a的长度la与b在a的方向上的投影bosO的乘积 意义 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:ab=ba (2)数乘结合律:(a)b=ab)=g(b (3)分配律:a(b+c)=ab+ac 平面向量数量积的性质及其坐标表示
第三节 平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的 夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当 a 与 b 的夹角是 90°时，a 与 b 垂直， 记作 a⊥b，当 a 与 b 的夹角为 0°时，a∥b，且 a 与 b 同向，当 a 与 b 的夹角为 180°时，a∥b，且 a 与 b 反向． 2．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 0 投影 |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影； |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何 意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a=(x1,y),b=(x2,y2),0=(a,b) 结论 几何表示 坐标表示 模 a=a'a a=vxi+y? 数量积 ab=abcs 0 ab=xix2ty1 夹角 a- b cos e xlx2tyv2 x2+y2√x2+y2 a⊥b ab=0 xx2+n2=0 x1x2tyiyl ab与lb的关系ab≤ ≤V+y1+2 [常用结论] 两个向量a,b的夹角为锐角∽→ab>0且a,b不共线 两个向量a,b的夹角为钝角→ab<0且a,b不共线 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)a+b)(a-b)=a2-b2 (2a+b)2=a2+2ab+b2 (3a-b)2=a2-2ab+b2 3.当a与b同向时,ab=al|b 当a与b反向时,ab=-a|b 基础自测 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC中,向量AB与BC的夹角为∠B.( (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.() (3)若ab>0,则a和b的夹角为锐角;若ab<0,则a和b的夹角为钝角 (4)rb=ac(a≠0),则b= 答案](1)×(2)√(3)×(4) 2.(教材改编)设a=(5,一7),b=(-6,1),若cb=-2,则t的值为() A[ab=5×(-6)-7=-2,解得l=-4,故选A
设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ a·a |a|＝ x 2 1＋y 2 1 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤ x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 [常用结论] 1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a 2－b 2 . (2)(a＋b) 2＝a 2＋2a·b＋b 2 . (3)(a－b) 2＝a 2－2a·b＋b 2 . 3．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量AB → 与BC → 的夹角为∠B. ( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( ) (3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角． ( ) (4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)设 a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若 a·b＝－2，则 t 的值为( ) A．－4 B．4 C. 32 7 D．－ 32 7 A [a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得 t＝－4，故选 A.]
3.(教材改编)已知a=2,b=6,ab=-63,则a与b的夹角为() 2π B [cos 8 b-633 a|2×62 又0≤θ≤π,则θ=。,故选D] 4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m 2[由a⊥b得ab=0,即-6+3m=0 解得m=2] 5.(教材改编)已知a=5,师=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量 a方向上的投影为 一2[由数量积的定义知,b在a方向上的投影为bcosθ=4×cos120 课堂题型全突破 考点全面·方法简 KETANG 题型1 平面向量数量积的运算 1.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足l=1,ab=-1,则a(2 A.4 B.3 C.2 B[因为l=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=2×12-(-1)=3, 故选B] 2.已知AB=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB在CD方向上的投影为 3 B.-35 C[因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD=(5,5),又AB=(2,1),所以向量AB在 CD方向上的投影为
3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 D [cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －6 3 2×6 ＝－ 3 2 ， 又 0≤θ≤π，则 θ＝ 5π 6 ，故选 D.] 4．已知向量 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且 a⊥b，则 m＝________. 2 [由 a⊥b 得 a·b＝0，即－6＋3m＝0， 解得 m＝2.] 5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________． －2 [由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－ 2.] 平面向量数量积的运算 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a －b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 B [因为|a|＝1，a·b＝－1，所以 a·(2a－b)＝2|a| 2－a·b＝2×1 2－(－1)＝3， 故选 B.] 2．已知AB → ＝(2,1)，点 C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB → 在CD → 方向上的投影为 ( ) A．－ 3 2 2 B．－3 5 C. 3 2 2 D．3 5 C [因为点 C(－1,0)，D(4,5)，所以 CD＝(5,5)，又AB → ＝(2,1)，所以向量AB → 在 CD → 方向上的投影为
LABlCOs(AB, CD)ABCD 15 CD5V22,故选C 3.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中 点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为() B 如图所示,AF=AD+DF 又D,E分别为AB,BC的中点, 且DE=2EF,所以AD=AB,DF=AC+AC=AC, 所以AF==AB+=AC 又BC=AC-AB, Dl.AFBC=lAB+2ACl-(AC-AB) CAB2+-AC2-=ACAB AC2-AB2一AC·AB 又AB=q=1,∠BAC=60°, 故AF·BC ×1×1×=8 故选B.] 规律方法]平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=l|bks(a,b)
|AB → |cos〈AB → ，CD → 〉＝AB → ·CD → |CD → | ＝ 15 5 2 ＝ 3 2 2 ，故选 C.] 3．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中 点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则AF → ·BC → 的值为( ) A．－ 5 8 B. 1 8 C. 1 4 D. 11 8 B [ 如图所示，AF → ＝AD → ＋DF → . 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 且 DE＝2EF，所以AD → ＝ 1 2 AB → ，DF → ＝ 1 2 AC → ＋ 1 4 AC → ＝ 3 4 AC → ， 所以AF → ＝ 1 2 AB → ＋ 3 4 AC → . 又BC → ＝AC → －AB → ， 则AF → ·BC → ＝ 1 2 AB → ＋ 3 4 AC → ·(AC → －AB → ) ＝ 1 2 AB → ·AC → － 1 2 AB →2＋ 3 4 AC → 2－ 3 4 AC → ·AB → ＝ 3 4 AC →2－ 1 2 AB →2－ 1 4 AC → ·AB → . 又|AB → |＝|AC → |＝1，∠BAC＝60°， 故AF → ·BC → ＝ 3 4 － 1 2 － 1 4 ×1×1× 1 2 ＝ 1 8 . 故选 B.] [规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=x1,y),b=(x,y2), 则ab=x1x2+yy2 (3)利用数量积的几何意义求解 题型2 平面向量数量积的应用 考法1求向量的模 【例1】(1)已知平面向量a,b的夹角为,且l=,面=2,在△ABC 中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC中点,则AD等于() (2)(2019广州模拟)已知向量a,b的夹角为60°,l=2,la-2b=2,则b 等于() A.4 B.2 C.2 (1)A(2D[(1)因为AD=(AB+AO=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以 AD2=4a-b)=4(a2-2ba+b2)=4×3-2×2×3×x+4=4,则AD=2 (2)由a-2b=2, 得(a-2b)2=a2-4ab+4b2=4, 即a2-4l|bcos60°+4b=4, 即酽-|b=0,解得b=0(舍去)或b=1,故选D] 考法2求向量的夹角 【例2】(1)已知向量a,b满足(a+2b)(5a-4b)=0,且a==1,则a 与b的夹角O为( B D (2)若向量a=(3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则 k的取值范围是 (1)C u(-2,31):(a+2b)(5a-4b)=0
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用 ►考法 1 求向量的模 【例 1】 (1)已知平面向量 a，b 的夹角为π 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，AB → ＝2a＋2b，AC → ＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|AD → |等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2019·广州模拟)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b| 等于( ) A．4 B．2 C. 2 D．1 (1)A (2)D [(1)因为AD → ＝ 1 2 (AB → ＋AC → )＝ 1 2 (2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以 |AD → | 2＝4(a－b) 2＝4(a 2－2b·a＋b 2 )＝4× 3－2×2× 3×cos π 6 ＋4 ＝4，则|AD → |＝2. (2)由|a－2b|＝2， 得(a－2b) 2＝|a| 2－4a·b＋4|b| 2＝4， 即|a| 2－4|a||b|cos 60°＋4|b| 2＝4， 即|b| 2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选 D.] ►考法 2 求向量的夹角 【例 2】 (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) A. 3π 4 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 (2)若向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________． (1)C (2) －∞，－ 9 2 ∪ － 9 2 ，3 [(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0