2.5平面向量应用举例 山理解粉新用析材新师自通 [导入新知] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何关系 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中 (3)动量m是向量的数乘运算 (4)功是力F与位移s的数量积 [化解疑难] 向量法在平面几何中的应用 用向量法解决平面几何问题,一般来说有两个方向: (1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量己知模或夹角),将题中涉及的向量用基 底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平 行等问题转化为代数运算 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 2突破等题型考向考干效不 题型 平面几何中的垂直问题 [例1]如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE ⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF [证明]设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<1), GU EP=AE=a, PF=EB=1-a, AP=v2a, ∴DP·EF=(DA+AP)·(EP+PF) =DA·EP+DA·PF+AP·EP+AP·PF =1×a×cos180°+1×(1-a)×cos90+ y2axa×cos45°+V2ax(1-a)×cos
2．5 平面向量应用举例 [导入新知] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积． [化解疑难] 向量法在平面几何中的应用 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基 底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平 行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 平面几何中的垂直问题 [例 1] 如图所示，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PE ⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 DP，EF，求证：DP⊥EF. [证明] 设正方形 ABCD 的边长为 1，AE＝a(0<a<1)， 则 EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝ 2a， ∴ DP · EF ＝( DA ＋ AP )·( EP ＋ PF ) ＝ DA · EP ＋ DA · PF ＋ AP · EP ＋ AP · PF ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋ 2a×a×cos 45°＋ 2a×(1－a)×cos
45°=-a+a+a(1-a)=0 ∴DP⊥EF,即DP⊥EF [类题通法] 利用向量解决垂直问题 对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0),而对于这 条件的应用,可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式 [活学活用] 如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB, BC的中点.求证:AF⊥DE(利用向量证明) 证明:设AB=a,AD=b, 则AF=a+b,ED=b--a ∴AF·ED=a 又∵AB⊥AD,且|AB|=|AD|, ∴a=b,a·b=0, AF·ED=0,∴AF⊥ED,即AF⊥DE 平面几何中的长度问题 [例2]已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n (1)若D为斜边AB的中点,求证:CD==AB (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示) [解](1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x 轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点 CD|=十,1AB|=后十示
45°＝－a＋a 2＋a(1－a)＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即 DP⊥EF. [类题通法] 利用向量解决垂直问题 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为 0)，而对于这一 条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式． [活学活用] 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB， BC 的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)． 证明：设 AB ＝a， AD ＝b， 则 AF ＝a＋ 1 2 b， ED ＝b－ 1 2 a， ∴ AF · ED ＝ a＋ 1 2 b · b－ 1 2 a ＝ 1 2 b 2－ 1 2 a 2＋ 3 4 a·b. 又∵ AB ⊥ AD ，且| AB |＝| AD |， ∴a 2＝b 2，a·b＝0， ∴ AF · ED ＝0，∴ AF ⊥ ED ，即 AF⊥DE. 平面几何中的长度问题 [例 2] 已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m，BC＝n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝ 1 2 AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)． [解] (1)证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)． ∵D 为 AB 的中点， ∴D n 2 ， m 2 ， ∴| CD |＝ 1 2 n 2＋m 2，| AB |＝ m 2＋n 2
CD|=|AB|,即CD==AB (2)∵E为CD的中点,…A44 设F(x,0),则AE AF=(x, -m) ∵A,E,F三点共线, ∴AF=AAE 即(x,一m= Y=-d 则 故A=-,即x= AF|=-2+9m,即AF=V+9n [类题通法] 利用向量法解决长度问题 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,向 向量的数量积转化,用公式|a2=a求解:二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式: (x,y),则al=√2+ [活学活用] 如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2, D 对角线BD=2,求对角线AC的长 答案 题型三 向量在物理中的应用 [例3]在水流速度为43km/h的河水中,一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对 岸行驶,求这艘船的航行速度的大小与方向 [解]如图所示,设AB表示水流速度,AC表示船垂直于对岸行驶 的速度,以AB为一边,AC为一对角线作口ABCD,则AD就是船的航行速
∴| CD |＝ 1 2 | AB |，即 CD＝ 1 2 AB. (2)∵E 为 CD 的中点，∴E n 4 ， m 4 ， 设 F(x,0)，则 AE ＝ n 4 ，－ 3 4 m ， AF ＝(x，－m)． ∵A，E，F 三点共线， ∴ AF ＝λ AE . 即(x，－m)＝λ n 4 ，－ 3 4 m . 则 x＝ n 4 λ， －m＝－ 3 4 mλ， 故 λ＝ 4 3 ，即 x＝ n 3 ， ∴F n 3 ，0 . ∴| AF |＝ 1 3 n 2＋9m 2，即 AF＝ 1 3 n 2＋9m 2 . [类题通法] 利用向量法解决长度问题 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向 向量的数量积转化，用公式|a| 2＝a 2 求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式： 若 a＝(x，y)，则|a|＝ x 2＋y 2 . [活学活用] 如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2， 对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长． 答案： 6 向量在物理中的应用 [例 3] 在水流速度为 4 3 km/h 的河水中，一艘船以 12 km/h 的实际航行速度垂直于对 岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向． [解] 如图所示，设 AB 表示水流速度， AC 表示船垂直于对岸行驶 的速度，以 AB 为一边， AC 为一对角线作▱ABCD，则 AD 就是船的航行速
AB|=4V3,|AC|=12 I AD= BC I= tan∠ACB= ∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120° 即船的航行速度为83km/h,方向与水流方向的夹角为120° [类题通法 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题 (2)建立以向量为主体的数学模型 (3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型: (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题 [活学活用] 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50N,一个质量为8kg的木块受力 F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20m.求力F和摩擦力f所做的功分别为 多少.(g取10m/s2) 答案:F和f所做的功分别为50J和-22J ↓跨越高分得用修补短板分“分用 多穷系列 趣角度全知晚 8.平面向量中的三角形“四心”问题 [典例]已知0是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足 OP=OA4+1(AB+AC),∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 [解析]由原等式得OP-OA=A(AB+AC),根据平行四边形法则,知AB+AC 是△ABC的中线所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心 [答案]重 [多维探究] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即 可.上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题,另外与三角形的内心、外心、垂心有关 的问题也是各类考试常涉及的问题 [活学活用]
度． ∵| AB |＝4 3，| AC |＝12， ∴| AD |＝| BC |＝8 3， ∴tan∠ACB＝ 4 3 12 ＝ 3 3 ， ∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°. 即船的航行速度为 8 3 km/h，方向与水流方向的夹角为 120°. [类题通法] 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [活学活用] 已知力 F(斜向上)与水平方向的夹角为 30°，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝0.02 的水平面上运动了 20 m．求力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 多少．(g 取 10 m/s2 ) 答案：F 和 f 所做的功分别为 500 3 J 和－22 J 8.平面向量中的三角形“四心”问题 [典例] 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP ＝OA ＋λ( AB ＋ AC )，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式得 OP －OA＝λ( AB ＋ AC )，根据平行四边形法则，知 AB ＋ AC 是△ABC 的中线所对应向量的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心． [答案] 重 [多维探究] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即 可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关 的问题也是各类考试常涉及的问题． [活学活用]
1.若动点P满足OP=O4+44 B A∈(0,+∞),则点P的轨迹一定 AB AC 通过△ABC的 答案:内 2.若动点P满足OF=OA+4 AB A∈(0,+∞),则动点 AB cos B I AC cos P的轨迹一定通过△ABC的 答案:垂 3.若动点P满足OPOB+OC A∈(0,+∞),则 I AB cos B AC Icos 动点P的轨迹一定通过△ABC的 答案:外 4应用落容体验川自减练首炼为藏 [随堂即时演练 1.人骑自行车的速度是v,风速为v,则逆风行驶的速度为() 答案:B 2.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,∥C=3,则AO·BC 等于() 答案:B 3.若菱形ABCD的边长为2,则AB-CB+CD 答案 4.某物体做斜抛运动,初速度|v|=10m/s,与水平方向成60°角,不计空气阻力,则 该物体在水平方向上的速度是 答案 5.已知平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=PC=Ac,试用向量方 法证明四边形DEBF也是平行四边形
1．若动点 P 满足 OP ＝OA ＋λ AB | AB | ＋ AC | AC | ，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定 通过△ABC 的________心． 答案：内 2．若动点 P 满足 OP ＝OA ＋λ AB | AB |cos B ＋ AC | AC |cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 答案：垂 3．若动点 P 满足 OP ＝ OB ＋ OC 2 ＋λ AB | AB |cos B ＋ AC | AC |cos C ，λ∈(0，＋∞), 则 动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 答案：外 [随堂即时演练] 1．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. v1 v2 答案：B 2.如图，△ABC 的外接圆的圆心为 O，AB＝2，AC＝3，则 AO · BC 等于( ) A. 3 2 B. 5 2 C．2 D．3 答案：B 3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB －CB ＋ CD |＝________. 答案：2 4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成 60°角，不计空气阻力，则 该物体在水平方向上的速度是________m/s. 答案：5 5．已知平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝FC＝ 1 4 AC，试用向量方 法证明四边形 DEBF 也是平行四边形．