2.5.1平面几何中的向量方法
2.5.1 平面几何中的向量方法
利用向量解决平面几何问题举例 例1求证:平行四边形两条对角线的平方和 等于相邻两边的平方和的两倍。 几何问题向量化 证明:设AB=a,AD=b,人入 HAB下=|aF=a [ AD=b=b 向量运算关系化 1AC[=a+b =(a+b)=a+2a.b+b lDBR=a-b =(a-b20-2ab+b 向量关系几何化 LAC+DB=2(a +6)=2(AB +Ad) 所以,平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍
求证：平行四边形两条对角线的平方和 等于相邻两边的平方和的两倍。 D A C B 2 | | AB = 证明：设AB a AD b = = , , 2 | | a 2 | | AD = 2 | | b 2 2 | | | | AC a b = + 2 = + ( ) a b 2 2 = + + a a b b 2 2 = a 2 = b 2 2 | | | | DB a b = − 2 = − ( ) a b 2 2 = − + a a b b 2 2 2 | | | | AC DB + = 2 2 2( ) a b + 2 2 = + 2( ) AB AD 例1. 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍. 几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化 利用向量解决平面几何问题举例
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素
例2如图,ABCD中,点E、F分别是AD、 D0边的中点,BEBF分别与A0交于R、T两点, 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 利用向量 解决平面 R 几何问题 举例 简述:几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ A B D C E F R T 利用向量 解决平面 几何问题 举例 简述：几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
例2.如图,在□ABCD中,点E、F分别是AD、 DC边的中点,BE、BF分别与AC交于点R、T两点 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 解:由图可猜想:AR=RT=TC证明如下:DF 设AB=a,AD=b,则由AR∥AC,b 得AR=xAC=x(a+b)=xa+xb,x∈R R 又AR=AE+ER=-b+ER B 而ER∥EB,ER=yEB=y(a-b),y∈R AR=b+y(a-b)=y+b,y∈R 2 由向量基本定理得{1-y→x=y= AR 3 3 2
例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点. 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ 解： A B D C E F R T a b AB a, AD b, 设 = = 由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下： 则由 AR AC // , 得 AR xAC = = + x a b ( ) x R . 又 AR AE ER = + 1 2 = +b ER 而 ER EB // , ∴ ER yEB = 1 ( ), 2 = − y a b y R . 1 1 ( ) 2 2 = + − AR b y a b = + xa xb, 1 , . 2 y ya b y R − = + 由向量基本定理得 1 2 x y y x = − = 1 . 3 = = x y 1 . 3 = AR AC