3平面向量的数量积 高三备课组
3.平面向量的数量积 高三备课组
1、知识精讲: (1)平面向量的数量积的定义 ①向量a,b的夹角:已知两个非零向量a,b, 过0点作OA=a,OB=b,则∠AOB=0 (00≤0≤180)叫做向量a、b的夹角。 当且仅当两个非零向量a,b同方向时,0=0°, 当且仅当反方向时0=180,同时0与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题
1、知识精讲： （1）平面向量的数量积的定义 ①向量 的夹角：已知两个非零向量 ， 过 O 点 作 ， 则 ∠ AOB=θ （0 0≤θ≤1800）叫做向量 的夹角。 当且仅当两个非零向量 同方向时，θ=0 0 ， 当且仅当反方向时θ=1800 ，同时 与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题。 a,b a,b OA = a OB = b, a,b a,b 0
(2)a与b垂直;如果a,b的夹角为90·则称垂直, 记作a⊥b。 (3与b的数量积:两个非零向量a,b,它们 的夹角为0,则团b·c叫做称a与b的 数量积(或内积),记作a.b, 即a·b=a·b1-cos 规定0·a=0 非零向量a与b当且仅当a⊥b时 0=900,这时a·b=0
(2) 垂直；如果 的夹角为900,则称垂直， 记作 。 (3) 的数量积：两个非零向量 ，它们 的夹角为θ，则 叫做称 的 数量积（或内积），记作 ， 即 = 规定 =0 非零向量 当且仅当 时， θ=900 ，这时 =0。 a与b a,b a⊥b a与b a,b a b cos a与b a b a b a b cos 0 a a与b a⊥b a b
a·b ④b在a方向上的投影:OP= bose ∈R (注意OP是射影) 所以,g的几何意义:a·b等于a的长 度与b在a方向上的投影的乘积
④ 在 方向上的投影： （注意 是射影） 所以， 的几何意义： 等于 的长 度与 在 方向上的投影的乘积。 b a R a a b OP b = cos = OPa b a b a b a
平面向量数量积的性质 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是 有:①ea=ae=acos0②ab分a.b=0 ③当a与同向时,ab=ab; 当a与饭向时,ab=-a 特别地 a·a=a= a·b (4)cosB
平面向量数量积的性质 设 是两个非零向量， 是单位向量，于是 有：① ② ③当 同向时， ； 当 反向时， ， 特别地， 。 (4) ⑤ a,b e e a = a e = a cos a⊥b a b = 0 a与b a b = a b a与b a b = − a b 2 2 a a = a = a a b a b cos = a b a b