高一数学平面向量应用举例教案 教学分析 1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越 性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致, 不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、 面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然 后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简 单地表述为 形到数 [数的运算数到形 则向量方法的流程图可以简单地表述为 [向量的运算向量和数到形 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重 点 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括: 综合方法一一不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法一一以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关 系进行讨论; 向量方法一一以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论 分析方法一一以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等 前三种方法都是中学数学中出现的内容 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用 向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相 关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问 题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化 教学目标 1.知识与技能: 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 2.过程与方法 明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以 由向量的线性运算及数量积表示 情感态度与价值观 通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性, 活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几 何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手 段 三、重点难点 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的 步曲 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题 四、教学设想 (一)导入新课
1 高一数学 平面向量应用举例 教案 一、教学分析 1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越 性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致, 不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、 面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然 后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简 单地表述为: 则向量方法的流程图可以简单地表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重 点. 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括: 综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关 系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等. 前三种方法都是中学数学中出现的内容. 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用 向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相 关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问 题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化. 二、教学目标 1．知识与技能： 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”. 2．过程与方法： 明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以 由向量的线性运算及数量积表示. 3．情感态度与价值观： 通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性, 活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几 何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手 段. 三、重点难点 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的 “三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想 （一）导入新课
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景, 当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我 们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量 方法 思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和薮量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下 面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用 (二)推进新课、新知探究、提出问题 图1 ①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并 猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗? ②你能利用所学知识证明你的猜想吗?能利用所学的向量方法证明吗?试 试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗? 活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什 么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出 结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 ②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边 形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性 质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可 以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法 图2 证明:方法一:如图2 作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE ∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE +CE=(AB+BE)+CE=AB +2AB. BE+BE +CE=AB+2AB. BE+BC BD2=BF +DF'=(AB-AF)+DF=AB2-2AB. AF+AF +DF=AB -2AB. AF+AD=AB2-2AB BC2... AC+BD=2(AB+BC) 图3 方法二:如图3 以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系 设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c) ∴|AC|2=(a+b)2+c=a2+2ab+b2+c2
2 思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景, 当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我 们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量 方法. 思路 2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下 面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. （二）推进新课、新知探究、提出问题 图 1 ①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图 1,你能观察、发现并 猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？ ②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试 一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什 么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出 结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. ②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边 形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性 质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可 以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 图 2 证明:方法一:如图 2. 作 CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F,则 Rt△ADF≌Rt△BCE. ∴AD=BC,AF=BE.由于 AC AE 2 +CE2 =(AB+BE)2 +CE2 =AB2 +2AB·BE+BE2 +CE2 =AB2 +2AB·BE+BC2 . BD2 =BF2 +DF2 =(AB-AF)2 +DF2 =AB2 -2AB·AF+AF2 +DF2 =AB2 -2AB·AF+AD2 =AB2 -2AB· BE+BC2 .∴AC2 +BD2 =2(AB2 +BC2 ). 图 3 方法二:如图 3. 以 AB 所在直线为 x 轴,A 为坐标原点建立直角坐标系. 设 B(a,0),D(b,c),则 C(a+b,c). ∴|AC| 2 =(a+b)2 +c2 =a 2 +2ab+b2 +c2
BD|2=(a-b)2+(-c)2=a22ab+b2+c ∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2) 用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向 量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学 生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把 个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降 低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学 生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系 DB=AB-AD,AC=AB+AD,教师可点拨学生设AB=a,AD=b,其他线段对应 向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算AC|2与 DB|2因此有了方法三 方法三:设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,|AB|=|a2,|AD|2=b|2 AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=a·ata·b+b·a+b·b=|l|2+2a·b+|b.① 同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b2.② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得 AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+AD|2), 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 ③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教 师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时 引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及 距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模 以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问 题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特 别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几 何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面 几何问题转化为向量问题 2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能 ②能想出至少三种证明方法 ③略 (三)应用示例
3 |BD| 2 =(a-b)2 +(-c)2 =a 2 -2ab+b2 +c2 . ∴|AC| 2 +|BD|2 =2a2 +2(b2 +c2 )= 2(|AB| 2 +|AD|2 ). 用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向 量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学 生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把 一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降 低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学 生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系 DB= AB - AD, AC = AB + AD ,教师可点拨学生设 AB =a,AD =b,其他线段对应 向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算| AC | 2与 | DB | 2 .因此有了方法三. 方法三:设 AB =a, AD=b,则 AC =a+b, DB =a-b,| AB | 2 =|a| 2 ,| AD | 2 =|b| 2 . ∴ | AC | 2 = AC · AC =(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a| 2 +2a·b+|b| 2 .① 同理| DB | 2 =|a| 2 -2a·b+|b| 2 .② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得 | AC | 2 +| DB | 2 =2(|a| 2 +|b| 2 )=2(| AB | 2 +| AD | 2 ), 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. ③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教 师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时 引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及 距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模 以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问 题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特 别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几 何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面 几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能. ②能想出至少三种证明方法. ③略. （三）应用示例
图4 例1如图4,□ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC 交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中 AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、 RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发 现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC 上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关 系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断 ADAR A7、与AC之间的关 系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得 到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将 平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC 解:如图4, 设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b 由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R 又因为EB=AB-AE=a--b, ER与EB共线, 所以我们设ER=mEB=m(a-1b) 因为AR=AE+ER 所以r=b+m(a-b) 因此na+b)=b+m(a-b) 即(n-m)a+(n+ )b=0 由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须 n-m=0 解得n=m=1
4 图 4 例 1 如图 4, ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗? 活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中 AR、RT、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量 AR、 RT、TC 的长度,让学生发现 AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发 现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想 AR=RT=TC.事实上,由于 R、T 是对角线 AC 上的两点,要判断 AR、RT、TC 之间的关系,只需分别判断 AR、RT、TC 与 AC 的关 系即可.又因为 AR、RT、TC、AC 共线,所以只需判断 AD、AR、AT、 与 AC 之间的关 系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得 到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将 平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC. 解:如图 4, 设 AB =a, AD=b, AR =r, AT =t,则 AC =a+b. 由于 AR 与 AC 共线,所以我们设 r=n(a+b),n∈R. 又因为 EB= AB - AE =a- 2 1 b, ER 与 EB 共线, 所以我们设 ER =m EB =m(a- 2 1 b). 因为 AR = AE + ER , 所以 r= 2 1 b+m(a- 2 1 b). 因此 n(a+b)= 2 1 b+m(a-b), 即(n-m)a+(n+ 2 m −1 )b=0. 由于向量 a、b 不共线,要使上式为 0,必须 = − + − = 0. 2 1 0, m n n m 解得 n=m= 3 1
所以AR=AC, 同理TC=AC 于是R=AC 所以AR=RT=TC 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因 此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤 变式训练 A 图5 如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点 证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h, 则BH=h-b,CH=h-c,BC=b 因为BH⊥AC,CH⊥AB 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c) 化简得h·(c-b)=0. 所以AH⊥BC 所以A与AD共线 即AD、BE、CF相交于一点H 图6 例2如图6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥ 求顶角A的余弦值 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面 几何问题.可否利用向量的坐标运算呢?这需要建立平面直角坐标系,找出所需 点的坐标如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立 平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运
5 所以 AR = 3 1 AC , 同理 TC = 3 1 AC . 于是 RT = 3 1 AC . 所以 AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因 此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练 图 5 如图 5,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD、BE、CF 相交于一点. 证明:设 BE、CF 相交于 H,并设 AB =b, AC =c, AH =h, 则 BH =h-b,CH =h-c,BC =c-b. 因为 BH ⊥ AC ,CH ⊥ AB , 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b. 化简得 h·(c-b)=0. 所以 AH ⊥ BC . 所以 AH 与 AD 共线, 即 AD、BE、CF 相交于一点 H. 图 6 例2 如图6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′, 求顶角 A 的余弦值. 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面 几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需 点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立 平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运