所做的功是 解析:∵AB=(-4,3), ∥F·s=F·AB=(2,3)·(-4,3)=-8+9=1 答案:1 7.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10N,则每根绳子的 拉力大小为N. 解析:如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°, 则|OA|=OB|=10,即每根绳子的拉力大小为10N. 答案:10 8.已知,B是圆心为C,半径为√的圆上的两点,且|AB=√5,则AC·CB 解析:由弦长AB=V5,可知∠ACB=60° AC·CB=-CA·CB=-C4|CBos∠AB=-2 答案: 知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB 求证:AD⊥C 证明:如图,以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系 设AC=a,则A(a,0),B(0,a), 所以AD=-a, 1-35 所以AD,CE=-a,1 所以AD⊥CE,即AD⊥CE 10.已知点A(2,-1).求过点A与向量a=(5,1)平行的直线方程 解:设所求直线上任意一点P(x,y
所做的功是________． 解析：∵ AB ＝(－4,3)， ∴W＝F·s＝F· AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：1 7．用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的 拉力大小为________ N. 解析： 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，| OC |＝10， 则| OA |＝| OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为 10 N. 答案：10 8．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则 AC ·CB ＝ ________. 解析：由弦长|AB|＝ 5，可知∠ACB＝60°， AC ·CB ＝－CA·CB ＝－| CA || CB |cos∠ACB＝－ 5 2 . 答案：－5 2 9．已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. 证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)， D 0， a 2 ，C(0,0)，E 1 3 a， 2 3 a . 所以 AD ＝ － a， a 2 ， CE ＝ 1 3 a， 2 3 a . 所以 AD ·CE ＝－a· 1 3 a＋ a 2 · 2 3 a＝0， 所以 AD ⊥ CE ，即 AD⊥CE. 10．已知点 A(2，－1)．求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程． 解：设所求直线上任意一点 P(x，y)
则AP=(x-2,y+1) 由题意知AP∥a,故5(y+1)-(x-2)=0, 即x-5y-7=0. 故过点A与向量a=(5,1)平行的直线方程为 层级二应试能力达标 1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为() V26 6 解析:选B设河水的流速为n,小船在静水中的速度为v,船的实际速度为v,则|n 2,|v=10,⊥n,∴=-n,p·=0, h=√P-2·n+=2V26(m/s) 2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=BC,则AD·BD的值为() B 解析:选C因为BD=BC,所以点D是BC的中点,则AD=(AB+AC),BD BC=(AC-AB),所以AD·BD=(AB+AC)·(AC-AB)=(AC AB2)=1(2-32)=-,选C. 3.如图,在矩形ABCD中,AB=V2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边 CD上,若AB·AF=V2,则AE·BF的值是 2 D.1 解析:选A∵AF=AD+DF,AB·AF=AB·(AD+DF)=AB·AD+ AB·DF=AB·DF=DF|=V2,∴DF|=1,CF|=V2-1,∴AE·BF (AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=-2(-1)+1×2=-2
则 AP ＝(x－2，y＋1)． 由题意知 AP ∥a，故 5(y＋1)－(x－2)＝0， 即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0. 层级二 应试能力达标 1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s 解析：选 B 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| ＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝ v 2－2v·v1＋v 2 1＝2 26(m/s)． 2．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2， BD ＝ 1 2 BC ，则 AD · BD 的值为( ) A．－ 5 2 B. 5 2 C．－ 5 4 D. 5 4 解析：选 C 因为 BD ＝ 1 2 BC ，所以点 D 是 BC 的中点，则 AD ＝ 1 2 ( AB ＋ AC )，BD ＝ 1 2 BC ＝ 1 2 ( AC － AB )，所以 AD · BD ＝ 1 2 ( AB ＋ AC )·1 2 ( AC － AB )＝ 1 4 ( 2 AC － 2 AB )＝ 1 4 (22－3 2 )＝－ 5 4 ，选 C. 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB · AF ＝ 2，则 AE · BF 的值是( ) A. 2 B．2 C．0 D．1 解析：选 A ∵ AF ＝ AD ＋ DF ，AB · AF ＝ AB ·( AD ＋ DF )＝ AB · AD ＋ AB · DF ＝ AB · DF ＝ 2| DF |＝ 2，∴| DF |＝1，| CF |＝ 2－1，∴ AE · BF ＝( AB ＋ BE )·( BC ＋ CF )＝ AB · CF ＋ BE · BC ＝－ 2( 2－1)＋1×2＝－2