2.5.2向量在物理中的应用举例 【学习目标]1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程2.体会 向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力 问题导学 预习新知夯实基础 知识点一向量的线性运算在物理中的应用 思考1向量与力有什么相同点和不同点? 答案向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点, 但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的 思考2向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系? 答案速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用 到向量的合成 梳理(1)用向量解决力的问题,通常把向量的起点平移到同一个作用点上 (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算 知识点二向量的数量积在物理中的应用 思考向量的数量积与功有什么联系? 答案物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向 量的数量积 梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,即∥=|F//s|cos 〈F,s),功是一个实数,它可正可负,也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量 的夹角,它的实质是向量F与s的数量积. 知识点三向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤 (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题 (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型 (3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等 (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题
2．5.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会 向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力． 知识点一 向量的线性运算在物理中的应用 思考 1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点， 但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的． 思考 2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用 到向量的合成． 梳理 (1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上． (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算． 知识点二 向量的数量积在物理中的应用 思考 向量的数量积与功有什么联系？ 答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向 量的数量积． 梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即 W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量 的夹角，它的实质是向量 F 与 s 的数量积． 知识点三 向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题； (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
■思考辨析判断正误 1.功是力F与位移S的数量积.(√) 2.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(√ 3.某轮船需横渡长江,船速为η,水速为,要使轮船最快到达江的另一岸,则需保持船 头方向与江岸垂直.(√) 题型探究 启迪思维探究重点 类型一向量的线性运算在物理中的应用 例1(1)在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分 别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小 考点向量在力学中的应用 题点求分力 解如图,两根绳子的拉力之和O+=,且|1=|0=300N,∠AO=30°,∠BCC= 在△OAC中,∠ACO=∠B0C=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90° 从而|=01·.cs30°=1503N AC|=|0C|·sin30°=150() 所以|OB=|AC1=150(N) 答与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150√3N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N (2)一条宽为km的河,水流速度为2km/,在河两岸有两个码头,B,已知AB=km 船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸B码头?用时多少? 考点向量在运动学中的应用 题点求速度
1．功是力 F 与位移 S 的数量积．( √ ) 2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ ) 3．某轮船需横渡长江，船速为 v1，水速为 v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船 头方向与江岸垂直．( √ ) 类型一 向量的线性运算在物理中的应用 例 1 (1)在重 300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分 别为 30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝ 60°. 在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°， 从而|OA →|＝|OC →|·cos30°＝150 3(N)， |AC →|＝|OC →|·sin30°＝150(N)， 所以|OB →|＝|AC →|＝150(N)． 答 与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3N，与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150N. (2)一条宽为 3km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A，B，已知 AB＝ 3km， 船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸 B 码头？用时多少？ 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度
解如图所示,设AC为水流速度,AD航行速度,以AC和AD为邻边作ACED且当AE与AB 重合时能最快到达彼岸, 根据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和口ACED中, I DE=|AC=2, AD=4, ZAED-=90 :=V就2-2 又AB=V3,∴用时0.5 sin∠BAy<EMD∈(0°,90°),∴∠EAD=30° 答船实际航行速度大小为2km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时05h 反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将 题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法,通 过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算 跟踪训练1河水自西向东流动的速度为10km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水 中的速度为103km/h,求小船的实际航行速度 考点向量在运动学中的应用 题点求速度 解设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作亦=a,D=b, 以,为邻边作矩形OACB,连接,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度 .oC +b a2+b=20(km/h) tan∠AOC ,∴∠AOC=60° 小船的实际航行速度为20km/h,按北偏东30°的方向航行 类型二向量的数量积在物理中的应用 例2质量m=2.0kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10N的作用下,沿倾斜角=30
解 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作▱ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸， 根据题意 AC⊥AE，在 Rt△ADE 和▱ACED 中， |DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED＝90°， ∴|AE →|＝ |AD →| 2－|DE →| 2＝2 3. 又 AB＝ 3，∴用时 0.5h. ∵sin∠EAD＝ 1 2 ，∠EAD∈(0°，90°)，∴∠EAD＝30°. 答 船实际航行速度大小为 2 3km/h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头，用时 0.5h. 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通 过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算． 跟踪训练 1 河水自西向东流动的速度为 10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水 中的速度为 10 3km/h，求小船的实际航行速度． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作OA →＝a，OB →＝b， 以OA →，OB →为邻边作矩形 OACB，连接OC →，如图，则OC →＝a＋b，并且OC →即为小船的实际航行速度． ∴|OC →|＝ a＋b 2＝ a 2＋b 2＝20(km/h)， tan∠AOC＝ 10 3 10 ＝ 3，∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度为 20km/h，按北偏东 30°的方向航行． 类型二 向量的数量积在物理中的应用 例 2 质量 m＝2.0kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°
的光滑斜面向上滑行|s|=2.0m的距离.(g=9.8N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功; (2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少? 考点向量在力学中的应用 题点求做功 解(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力F,如图所示,拉力F与位移s方向 相同,所以拉力对木块所做的功为 W=F·s=|F|| lcos0°=20(J) 支持力F与位移方向垂直,不做功 所以W=F·s=0; 重力G对物体所做的功为 =G·s=|GH| lcos(90°+0)=-19.6(J) (2)物体所受各力对物体做功的代数和为=W+W+=0.4(J) 反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积. 跟踪训练2已知力F的大小|F=10,在F的作用下产生的位移S的大小|s=14,F与s 的夹角为60°,则F做的功为( A.7B.10C.14D.70 考点向量在力学中的应用 题点求做功 答案 解析F做的功为Fs=|F|scos60°=10×14×元=70. 达标检测 检测评价达标过关 1.一质点受到平面上的三个力F,R,R(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,R 成90°角,且F,F的大小分别为2和4,则的大小为() A.6B.2 考点向量在力学中的应用 题点求合力 答案C
的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m 的距离．(g＝9.8N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 FN，如图所示，拉力 F 与位移 s 方向 相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)； 支持力 FN与位移方向垂直，不做功， 所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)． 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积． 跟踪训练 2 已知力 F 的大小|F|＝10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|＝14，F 与 s 的夹角为 60°，则 F 做的功为( ) A．7B．10C．14D．70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 答案 D 解析 F 做的功为 F·s＝|F||s|cos60°＝10×14× 1 2 ＝70. 1．一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 90°角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( ) A．6B．2C．2 5D．2 7 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 C
解析由题意知F=-(F1+E), 所以|F1|2=(F+E)2=F+E+2R·E=4+16=20, ∴|F|=2V5. 2.人骑自行车的速度是v,风速为v,则逆风行驶的速度为() B. V-v C. v+v2 考点向量在运动学中的应用 题点求速度 答案C 解析由题易知,选项C正确 3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10N,则每根绳子的 拉力大小为_N 考点向量在力学中的应用 题点求分力 答案10 解析设重力为G,每根绳的拉力分别为F,E,则由题意得F,R与一G都成60°角, 且|F|=|F F|=|F|=|G=10N, ,每根绳子的拉力都为10N. 4.一条河宽为800m,一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为 12km/h,则船到达B处所需时间为 min. 考点向量在运动学中的应用 题点求时间 答案3 解析∵V实=v船+v水=V+v, 水流方向 v|=20km/h,|v|=12km/h
解析 由题意知 F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3| 2＝(F1＋F2) 2＝F 2 1＋F 2 2＋2F1·F2＝4＋16＝20， ∴|F3|＝2 5. 2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( ) A．v1－v2 B．v2－v1 C．v1＋v2 D．|v1|－|v2| 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 C 解析 由题易知，选项 C 正确． 3.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10N，则每根绳子的 拉力大小为______N. 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2与－G 都成 60°角， 且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N， ∴每根绳子的拉力都为 10N. 4．一条河宽为 800m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求时间 答案 3 解析 ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h