(7)三角形矩阵 主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为 上(下)三角形矩阵.例如 11 22 n 21 22 nn 2 nn 上三角形矩阵 下三角形矩阵
(7) 三角形矩阵 主对角线下(上) 方的元素全为零的方阵称为 , 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n a a a a a a . 1 2 2 1 2 2 1 1 n n n n a a a a a a 上三角形矩阵 下三角形矩阵 上 (下) 三角形矩阵. 例如
(8)对称矩阵与反称矩阵 在方阵A=(an)中,如果a1=an(,=1,2, ,n),则称A为对称矩阵如果A还是实矩阵,则 称A为实对称矩阵.如果an=-an(=1,2,…, n),则称A为反称矩阵例如 2-15 37 7 207 3-7-2 反称矩阵 实对称矩阵
(8) 对称矩阵与反称矩阵 在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji (i, j = 1, 2, , 5 7 4 1 3 7 2 1 5 − − . 3 7 2 2 0 7 1 2 3 − − − − 实对称矩阵 反 称 矩 阵 n) , 则称 A 为反称矩阵. 例如 称 A 为实对称矩阵. 如果 aij = -aji(i, j = 1, 2, ···, ···, n) ,则称 A 为对称矩阵. 如果 A 还是实矩阵,则
矩阵A=(an)m×n与B=(b)2xq如果满足 m=p且n=q,则称这两个矩阵为同型矩阵 定义两个同型矩阵A=(an) man 与 B=(bin)m×n 如果对应元素相等,即 2,…,m,j=1,2,…,n, 则称矩阵A和矩阵B相等,记为A=B.例如 C 当a=3,b=-1,c=4,d=2 与 56 e=5,′=6时,它们相等 e
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q 如果满足 − − 5 6 4 2 3 1 . e f c d a b 与 当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等. 则称矩阵A 和矩阵B 相等, 记为 A = B . 例如 aij = bij , i = 1,2, ···, m , j = 1, 2, ···, n , B = ( bij )m×n , 如果对应元素相等, 即 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与 m = p 且 n = q , 则称这两个矩阵为同型矩阵
三、矩阵的应用举例 例1产品发送量矩阵完 例2邻接矩阵 例3线性变换的矩阵完 例4线性方程组的矩阵宝 例5二次曲线的矩阵完
三、矩阵的应用举例 例 1 产品发送量矩阵 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成 矩阵 = 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a A 其中 aij 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量. 例 2 邻接矩阵 四个城市间的单向航线如图 2. 1 所示. 若令 aij = 1，从 i 市到 j 市有 1 条单向航线， 0，从 i 市到 j 市没有 单向航线， 1 2 3 4 图 2. 1 则图 2. 1 可用矩阵表示为 = = 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 ( ) A aij 例 3 线性变换的矩阵 n 个变量 x1 , x2 , ··· , xn与 m 个变量 y1 , y2 , ··· , y m 之间的关系式 (2) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 = + + + = + + + = + + + y a x a x a x , y a x a x a x , y a x a x a x , m m m m n n n n n n 表示一个从变量 x1 , x2 , ··· , xn到变量 y1 , y2 , ··· , y m的线性变换， 其中 aij 为常数. 例 5 二次曲线的矩阵 二次曲线的一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (Ⅱ) (Ⅱ) 的左端可以用表 x y 1 x y 1 a b d b c e d e f 来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应 例 4 线性方程组的矩阵 设有线性方程组 (I) . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 若令 , , 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = m m m n m n n m m m n n n a a a b a a a b a a a b B a a a a a a a a a A
第二节矩阵的运算 主要内容 ●矩阵的加法◎矩阵乘积的意义 数与矩阵相乘◎矩阵的转置 ●矩阵的乘法方阵的行列式 6方阵的幂 ●共轭矩阵
矩阵的加法 主要内容 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂 第二节 矩阵的运算 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 矩阵乘积的意义