数学参考 CD=0° 进明面282￥面1 工酯ABC的分值 2在平面D0件F⊥D为 出间B1平面款8可得F 平面AD 从F生点:轴方
2.[2017·全国卷Ⅰ] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠ CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求 二面角 A-PB-C 的余弦值. 教 学 参 考 解:(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得 AB ⊥AP,CD⊥PD. 由于 AB∥CD,故 AB⊥PD,从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F. 由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF ⊥平面 ABCD. 以 F 为坐标原点,𝐹 𝐴 的方向为 x 轴正方
数学参考 2爆四隧1长道就萌前 CD=0° 进明面282￥面1 2310240求 工酯ABC的分值 210
2.[2017·全国卷Ⅰ] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠ CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求 二面角 A-PB-C 的余弦值. 教 学 参 考 向,|𝐴 𝐵 |为单位长,建立如图所示的空间直角 坐标系 F-xyz. 由(1)及已知可得 A 2 2 ,0,0 ,P 0,0, 2 2 ,B 2 2 ,1,0 ,C - 2 2 ,1,0 , 所以 𝑃 𝐶 = - 2 2 ,1,- 2 2 ,𝐶 𝐵 =( 2,0,0),𝑃 𝐴 =
数学参考 20门奶图在四 设1是平面1法量则 CD=0° 进明面282面 c PC=0.n 工酯ABC的分值 设:是平面B8法量则 ImPF=0 AB=0
2.[2017·全国卷Ⅰ] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠ CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求 二面角 A-PB-C 的余弦值. 教 学 参 考 2 2 ,0,- 2 2 ,𝐴 𝐵 =(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 PCB 的法向量,则 𝑛· 𝑃 𝐶 = 0, 𝑛·𝐶 𝐵 = 0, 即 - 2 2 𝑥 + 𝑦- 2 2 𝑧 = 0, 2𝑥 = 0, 可取 n=(0,-1,- 2). 设 m=(x1,y1,z1 )是平面 PAB 的法向量,则 𝑚·𝑃 𝐴 = 0, 𝑚·𝐴 𝐵 = 0, 即 2 2 𝑥1 - 2 2 𝑧1 = 0, 𝑦1 = 0
数学参考 20门奶图在四 n 'm CD=0° 进明面282面 所以二画42C的余值 2310240求 工酯ABC的分值
2.[2017·全国卷Ⅰ] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠ CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求 二面角 A-PB-C 的余弦值. 教 学 参 考 可取 m=(1,0,1), 则 cos<n,m>= 𝑛·𝑚 |𝑛||𝑚| =- 3 3 , 所以二面角 A-PB-C 的余弦值为- 3 3
数学参考 全国门烟图四也形BD (证1度0设0性度 为∠82F是:面:8D EG, FG,E. 址期:2:8C由:面D船0 北以B6且BGC 在风得2D 在EG中得6
3.[2015·全国卷Ⅰ] 如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥ 平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)略. 教 学 参 考 解:(1)证明:连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1. 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2 2 . 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6 2