§7排队象统的最优化问题 7.1排队系统的最优化问题 排队系统的最优化问题分为两类：系统设计最优化和系统控制最 优化。前者称为静态最优问题，从排队论一诞生起就成为人们研究 的内容，目的在于使系统达到最大效益，或者说在一定的质量指标 下使系统最为经济；后者称为动态最优问题，是指一个给定的系统， 如何运营可使某个目标函数达到最优，这是近年来排队论研究的重 点之一。我们这里只讨论静态最优问题。 了 在一般情况下，提高服务水平（数量、质量）可减少顾客的等 待费用（损失），但却常常增加了服务机构的成本。因此，最优化 的目标之一就是使两者的费用之和为最小，并确定达到这个目标的 最优服务水平。另一个常用的目标函数是使纯收入或利润（服务收 入与服务成本之差)为最大。如图10一11所示。 嘴 合并费用 服务费用 等待费用 图10-11 最小 服务水平
§7 排队系统的最优化问题 7.1 排队系统的最优化问题 排队系统的最优化问题分为两类:系统设计最优化和系统控制最 优化。前者称为静态最优问题，从排队论一诞生起就成为人们研究 的内容，目的在于使系统达到最大效益，或者说在一定的质量指标 下使系统最为经济；后者称为动态最优问题，是指一个给定的系统， 如何运营可使某个目标函数达到最优，这是近年来排队论研究的重 点之一。我们这里只讨论静态最优问题。 在一般情况下，提高服务水平（数量、质量）可减少顾客的等 待费用（损失），但却常常增加了服务机构的成本。因此，最优化 的目标之一就是使两者的费用之和为最小，并确定达到这个目标的 最优服务水平。另一个常用的目标函数是使纯收入或利润（服务收 入与服务成本之差）为最大。如图10－11所示。 图10－11 费 用 合并费用 服务费用 等待费用 最小 服务水平
假定在稳定状态下，各种费用都是按单位时间来考虑的。一般说 来，服务费用（成本）是可以确切计算的，而顾客的等待费用就有 许多不同情况，象机械故障问题中等待费用（由于机器待修而使生 产遭受的损失)是可以确切计算的，但象病人就诊的等待费用（由 于拖延治疗使病情恶化所受的损失)，或由于队列过长而失掉潜在 顾客所造成的营业损失，就只能根据统计的经验资料来估计。 服务水平也可以由不同形式来表示，主要的是平均服务率 (代表服务机构的服务能力和经验等)，其次是服务设备，如服务 台的个数C,以及由队列所占空间大小决定的队列最大限制数N等， 服务水平也可以通过服务强度来表示。 我们常用的求解方法：对于离散变量常用边际分析法，对于连 续变量常用经典的微分法
假定在稳定状态下,各种费用都是按单位时间来考虑的。一般说 来，服务费用（成本）是可以确切计算的，而顾客的等待费用就有 许多不同情况，象机械故障问题中等待费用（由于机器待修而使生 产遭受的损失）是可以确切计算的，但象病人就诊的等待费用（由 于拖延治疗使病情恶化所受的损失），或由于队列过长而失掉潜在 顾客所造成的营业损失，就只能根据统计的经验资料来估计。 服务水平也可以由不同形式来表示，主要的是平均服务率μ （代表服务机构的服务能力和经验等），其次是服务设备，如服务 台的个数C，以及由队列所占空间大小决定的队列最大限制数N等， 服务水平也可以通过服务强度ρ来表示。 我们常用的求解方法：对于离散变量常用边际分析法，对于连 续变量常用经典的微分法
72MWM/1模型中的最优服务率u (1)标准的M/M1模型 取目标函数Z为单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和 的期望值：Z=Cu+cwLs 其中c为u=1时服务机构单位时间的服务费用，c,为每个顾客在系统 停留单位时间的费用。 将Ls的算式代入，有Z=cs+cwW(A) 为了求最小，令 da es-e d 解得最优服务率为： +2 根号前取正号，是为保证>A,p<1。 例8设货船按普阿松流到达某一港口，平均到达率=50（条/天）， 平均卸货率为μ。又知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均 卸货费为uCs,其中c=2货币单位，求使总费用最小的平均服务率。 解：将=50，cw=1,cs=2代入公式，得最优服务率 μ-50+55(条/大)
7.2 M/M/1模型中的最优服务率μ （1）标准的M/M/1模型 取目标函数Z为单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和 的期望值： Z=cSμ+cwLs 其中cS为μ=1时服务机构单位时间的服务费用，cw为每个顾客在系统 停留单位时间的费用。 将Ls的算式代入，有 Z=cSμ+cw·λ/（μ-λ） 为了求最小，令 ( ) 0 μ λ λ μ 2= − =cS−cw d dZ 解得最优服务率为： μ λ λ S w c c = + 根号前取正号，是为保证μ＞λ，ρ＜1。 例8 设货船按普阿松流到达某一港口，平均到达率λ=50（条/天）， 平均卸货率为μ。又知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均 卸货费为μcS，其中cS =2货币单位，求使总费用最小的平均服务率。 解：将λ=50，cw=1， cS =2代入公式，得最优服务率 55 2 50 μ =50+ = （条/天）
(2)MMW/1/N/6o模型 在系统中顾客最大限制数为N的情沉下，如系统中已有N个顾客 则后来的顾客即被拒绝，被拒绝的概率为P~,而1-P即为能接受服务 的概率。 单位时间实际进入服务机构的平均顾客数为(1-P),在稳定状 态下，它也等于单位时间实际服务完的平均顾客数。设每服务1人能 收入G元，于是单位时间收入的期望值是A(1-P)G元。 纯利润：Z=(1-P)G-CsW 由公式PwC,ApR,p可得 Z-AG.1-P-C4 求张并令20，得-p d du (1-p1)2 (※) 当给定N和CsG后，由上式即可求得获最大利润的最优服务率u*。 注意：式中p=μ
（2）M/M/1/N/∞模型 在系统中顾客最大限制数为N的情况下,如系统中已有N个顾客, 则后来的顾客即被拒绝,被拒绝的概率为PN,而1-PN即为能接受服务 的概率。 单位时间实际进入服务机构的平均顾客数为λ(1-PN),在稳定状 态下,它也等于单位时间实际服务完的平均顾客数。设每服务1人能 收入G元，于是单位时间收入的期望值是λ(1-PN)G元。 纯利润： Z= λ(1-PN)G-cSμ 由公式PN= CNP0=ρNP0 可得 Z=λG· N ρ 1 1 ρ ρ N +1 − − = μ 1 1 ρ ρ N − cs − − N + 1 0, : μ , μ 求 并令 = 得 d dZ d dZ ( ) ( ) G N N s N N N c = − − + + + + + 2 1 1 1 ρ ρ 1 1 ρ ρ 当给定N和cS /G后，由上式即可求得获最大利润的最优服务率μ ﹡ 。 注意：式中ρ=λ/μ。 （※）
例9对某服务台进行实测，得到如下数据： 系统中的顾客数(n)：01一23 记录到的次数(mm)：161975334 平均服务时间为10分钟，服务一个顾客收益为2元，服务机构运行 单位时间成本为1元，问服务率为多少时可使单位时间平均收益最 大？ 解：首先通过实测数据估计平均到达率入。 由于该系统为MWM1/N/oo模型，故有 PnIPn-1-CPol (Cn-Pop 因此， 用武i计p:”f22-060+05+04060 由=6人/小时，可得A的估计值：X=Pu=0.60×6=3.6(人/小时) 这里N=3,csG=1/2=0.5,代入公式（※）可求出p*=1.21, 故最优服务率：u*=元p=3.6/1.21=3(人1小时) 1-PN 效益分析：当6人小时，总收益Z-AG1。-C =2×3.6[1-(0.6)]s(0.6)4-1×6=0.485(元/小时) 当e3人小时，总收益Z=AG:1-。cW =2×3.6[1-(1.21)3]/[1-(1.21)4]-1×6=1.858(元/小时)
例9 对某服务台进行实测，得到如下数据： 系统中的顾客数（n）： 0 1 2 3 记录到的次数（mn） ： 161 97 53 34 平均服务时间为10分钟，服务一个顾客收益为2元，服务机构运行 单位时间成本为1元，问服务率为多少时可使单位时间平均收益最 大？ 解：首先通过实测数据估计平均到达率λ。 由于该系统为M/M/1/N/∞模型，故有 Pn /Pn-1=CnP0 /（Cn-1P0）=ρn /ρn-1=ρ 因此，可用下式估计ρ： (0.60 0.55 0.64) 0.60 3 1 3 1 3 1 1 ρ ˆ = = + + = n= n− n m m 由μ=6人/小时，可得λ的估计值： 这里N=3， cS /G =1/2=0.5,代入公式（※）可求出ρ ﹡=1.21, 故最优服务率: μ ﹡ = 效益分析:当μ=6人/小时,总收益 Z=λG· =2×3.6[1-(0.6)3]/[1-(0.6)4]-1×6=0.485(元/小时) 当μ=3人/小时,总收益 Z=λG· =2×3.6[1-(1.21)3]/[1-(1.21)4]-1×6=1.858(元/小时) λˆ =ρ ˆ μ = 0.60 6 = 3.6(人/小时) λˆ /ρ = 3.6/1.21= 3(人/小时) μ 1 1 ρ ρ N − cs − − N + 1 μ 1 1 ρ ρ N − cs − − N + 1