§4单服务台排队系统模型(MWMM) 本节将讨论输入为普阿松流，服务时间为负指数分布的单服务 台排队系统模型。因为这类模型都符合生灭过程，所以可以将生灭 过程的结论搬过来应用。 ◆ 下面分几种类型来讨论。 4.1M/M/1/oo/oo模型 ◆ 该模型是指顾客按普阿松流到达，到达速率为入，服务时间服 从负指数分布，服务速率为山，单个服务台，系统对顾客无限制， 顾客源也无限制，先到先服务的服务系统。其系统状态是无限的， 即=0,1,2，..。图10—4表示系统的状态转移图。 图10一4
§4 单服务台排队系统模型（M/M/1） 本节将讨论输入为普阿松流，服务时间为负指数分布的单服务 台排队系统模型。因为这类模型都符合生灭过程，所以可以将生灭 过程的结论搬过来应用。 下面分几种类型来讨论。 4.1 M/M/1/∞/∞模型 该模型是指顾客按普阿松流到达，到达速率为λ ，服务时间服 从负指数分布，服务速率为μ ，单个服务台，系统对顾客无限制， 顾客源也无限制，先到先服务的服务系统。其系统状态是无限的， 即n=0，1，2，…。图10—4表示系统的状态转移图。 0 1 2 n-1 n n+1 λ λ λ λ λ λ λ μ μ μ μ μ μ μ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图10—4
因为对所有状态n,n=入，4n,所以 C=(Nu)=pm (n=1,2,..》 Pn=CnPo-p"Po, 1 P0= 00 C. 1=1-P ∑p 拉三0 Pn=(1-p)p" 这里p=μ<1是单位时间顾客平均到达率与平均服务率的比值，反映 了服务机构的忙碌或利用程度，称为服务强度或服务的忙期。因为 p≥时，系统内顾客数会越来越多，系统无法进入稳定状态，所以 设p<1。 下面推导服务系统的其它指标： Ls=nP=(1-pn匹(1-p)p pp -ppp n=0 三 1p2pu-元 L2n-P2R-l。（1-)L,p=l.M =1 4-元
Cn =（λ/μ）n=ρ n （n=1,2, …） Pn = CnP0=ρ nP0， P0= =1-ρ 因为对所有状态n ，λn =λ，μn =μ，所以 = = = n 0 n n 0 ρ 1 C 1 n Pn =(1-ρ)ρ n 这里ρ=λ/μ＜1是单位时间顾客平均到达率与平均服务率的比值,反映 了服务机构的忙碌或利用程度,称ρ为服务强度或服务的忙期。因为 ρ≥1时，系统内顾客数会越来越多，系统无法进入稳定状态，所以 设ρ＜1。 下面推导服务系统的其它指标： Ls= =(1-ρ) =(1-ρ)ρ = = Lq= =Ls-（1-P0）=Ls-ρ=Ls-λ/μ = n=0 nPn n=0 nρn μ λ λ − = − = − = − − • • 1 ρ ρ ρ 1 ρ ρ 1 ρ 1 ρ ρ 1 2 1- 1 dρ d − = • n 0 ρ n dρ 1 ρ ρ d n =0 ρ n dρ d = − = = = n 1 n n 1 n n 1 n-1Pn nP P − − = − μμ λ λ μ λ μλ λ 2
Wj-L:MA- u-元 W。LgA= u-入 下面再计算：顾客在系统中停留时间超过的概率是多少？假定 顾客来到系统时，系统中已有个人，则该顾客在系统中的停留时 间应该是系统对前个顾客的服务时间加上对他的服务时间。若分 别用T,T2,,Tn表示前个顾客的服务时间，Tm+1表示对该顾客 的服务时间，令Sn+1=T+T2+..+Tn+Tn+1,则Sn+/满足n+1阶爱尔朗 分布，参数为u。 可以证得其密度函数为∫(S+)=片e-: p (S)=(ted 顾客在系统中停留时间小于的概率 P (W<i)=2 ，P(S)=高p)p j暘ed u(1-p)e4 dt=∫du-jee-t1dt=l-e-a n=0 n!
Ws =Ls /λ= Wq =Lq /λ= μλ 1 − μμ −λ λ 下面再计算：顾客在系统中停留时间超过t的概率是多少？假定一个 顾客来到系统时，系统中已有n个人，则该顾客在系统中的停留时 间应该是系统对前n个顾客的服务时间加上对他的服务时间。若分 别用T1，T2，…，Tn表示前n个顾客的服务时间, Tn+1 表示对该顾客 的服务时间，令Sn+1 =T1+ T2 +…+Tn+Tn+1 ，则Sn+1满足n+1阶爱尔朗 分布，参数为μ。 可以证得其密度函数为 f（Sn+1）= P｛Sn+1 ≤t｝= 顾客在系统中停留时间小于t的概率 P｛W≤t｝= PnP｛Sn+1≤t｝= (1-ρ)ρ n ( ) n μt μt e n! μ − ( ) t − 0 n μt μt t n! μ e d n=0 n=0 ( ) t − 0 n μt μt t n! μ e d ( ) (μ-λ)t t 0 t μ t λ t 0 n μ t μ1- e t μ- e e t e n! μ t − − − = − = = = − ρ λ 1 n 0 ρ d d
即W服从参数为uA的负指数分布。 所以顾客在系统中停留时间大于的概率 P {W>t)=1-P (W<t}=e-(A) 例1某超级市场，顾客按普阿松流来到唯一的收款合。已知平 均每小时来到20人，记价收款时间服从负指数分布，平均每个顾客 需2.5分钟，试求该超级市场收款台的有关运行指标。 解：根据题意，这是MWMW1/oo/oo模型， =20/60=1/3,u=1/2.5,p=W=5/6 系统有关指标计算如下： (1)P。=1-p=1-5/6=1/6,忙期概率为1-Po=p=5/6 2)系统内顾客平均值L。= ·=1/3÷(1/2.5-1/3)=5(人) 3排队等待顾客平均值L,:M455/6-4.167(人) (4)每个顾客在系统内平均逗留时间 W。=Ls八=5÷(1/3)=15（分钟） (⑤)每个顾客在队列中平均逗留时间W。W。-1u=12.5(分钟)
即W服从参数为μ-λ的负指数分布。 所以顾客在系统中停留时间大于t的概率 P｛W＞t｝=1-P｛W≤t｝=e -（μ-λ）t 例1 某超级市场，顾客按普阿松流来到唯一的收款台。已知平 均每小时来到20人，记价收款时间服从负指数分布，平均每个顾客 需2.5分钟，试求该超级市场收款台的有关运行指标。 解：根据题意，这是M/M/1/∞/∞模型， λ＝20/60=1/3，μ＝1/2.5，ρ＝λ/μ＝5/6 系统有关指标计算如下： ⑴ P0=1-ρ=1-5/6=1/6，忙期概率为 1-P0=ρ=5/6 ⑵系统内顾客平均值 Ls= =1/3÷（1/2.5-1/3）=5（人） ⑶排队等待顾客平均值Lq =Ls-λ/μ=5-5/6=4.167 （人） ⑷每个顾客在系统内平均逗留时间 Ws =Ls /λ=5÷（1/3）=15（分钟） ⑸每个顾客在队列中平均逗留时间Wq = Ws-1/μ=12.5（分钟） μ λ λ −
4.2MWMI1/NWoo模型 在实际生活中经常会碰到队长有限制的服务系统，如医院规定 每天挂100个号，那么第100个以后到达者会自动离开服务系统：理 发店内等待的座位都满员时，后来的顾客就会离开，等等。因为队 长有限制，所以系统的状态只能取0,1,2，，这些值。系统状 态转移图如图10一5所示。 图10-5 ， 入m{0, 当n=0,1,2,N-1 当≥N 4n=u, n=1,2,.…,N _(/)n=p,对n=0,1,2,…,N C0, 对n>N 于是，P=N =1-p pm Pn=C,Po-p"Po0.1.2...N n=0
4.2 M/M/1/N/∞模型 在实际生活中经常会碰到队长有限制的服务系统，如医院规定 每天挂100个号，那么第100个以后到达者会自动离开服务系统；理 发店内等待的座位都满员时，后来的顾客就会离开，等等。因为队 长有限制，所以系统的状态只能取0，1，2，…，N这些值。系统状 态转移图如图10—5所示。 0 1 2 N-1 N μ μ μ μ μ ● ● ● ● ● ● 图10—5 λ λ λ λ λ λ， 当n=0,1,2, …,N-1 0, 当n≥N λn = μn =μ， n=1,2, …,N （λ/μ）n=ρn ， 对n=0,1,2, …,N 0 ， 对n＞N Cn = 于是，P0= ，Pn = CnP0=ρn N+1 P0，对n=0,1,2, …,N = − − = ρ ρ ρ 1 1 1 n 0 n N