§2到达间隔与服务时间的分布 解决排队问题首先要判断顾客到达间隔和服务时间的分布，现 在介绍排队模型中常见的几种理论分布。 2.1普阿松流 令Pn(t,t2)表示在时间区间[t,t2)(t2>t)内有n个顾客到 达的概率，当P,(t,t2)和乎下列三个条件时，我们说顾客的到达 形成普阿松流。 (1)无后效性。在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立 的。 (2)平稳性。对充分小的△t,在时间区间[t,t+△0内有1个顾客到 达的概率与t无关，而与△t成正比，即 P,(t,t+△t)=入△t+o(△t) 其中入>0是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率；⊙ (△t)是当△t0时，关于△t的高阶无穷小量。 (3)普通性。对于充分小的△t,在时间区间[t,t+△t)内有2个或 2个以上顾客到达的概率极小，即 SPn(t,+△t)=0(△t)
n=2 §2 到达间隔与服务时间的分布 ⚫ 解决排队问题首先要判断顾客到达间隔和服务时间的分布，现 在介绍排队模型中常见的几种理论分布。 ⚫ 2.1 普阿松流 令Pn（t1 ,t2）表示在时间区间[t1 ,t2）（t2＞t1）内有n 个顾客到 达的概率，当Pn（t1 ,t2）和乎下列三个条件时，我们说顾客的到达 形成普阿松流。 ⑴无后效性。在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立 的。 ⑵平稳性。对充分小的△t，在时间区间[t,t+△t)内有1个顾客到 达的概率与t无关，而与△t 成正比，即 P1（t,t+△t）=λ△t+ο（△t） 其中 λ＞0是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率； ο （△t）是当△t→0时 ，关于△t的高阶无穷小量。 ⑶普通性。对于充分小的△t，在时间区间[t,t+△t）内有2个或 2个以上顾客到达的概率极小，即 Pn（t,t+△t）=ο（△t）
根据普阿松流的三个条件，我们来讨论在[O,)内顾客到达数 N(t)的概率分布。 将长度为t的时间区段分成n等份，△t=n,当n→∞时，△t为 充分小，在△t内可能会有1个顾客到达，其概率为入△t=入tn,在△t 内也可能没有顾客到达，其概率为1-入公1-t加。 记[0，t)内有k个顾客到达的概率为Pk(t) 则P(tD=iC1- = k=0,1,2,… 由于普阿松流与实际流的近似性，更由于普阿松流容易处理， 因此排队论中大量研究的是普阿松流情况。事实上，应用排从论来 研究实际问题到日前为止也主要限于普阿松流，对非普阿松流的情 况，大多还没有得到满意的分析解
根据普阿松流的三个条件，我们来讨论在[0,t）内顾客到达数 N（t）的概率分布。 将长度为t 的时间区段分成n等份，△t =t/n，当n→∞时，△t为 充分小，在△t内可能会有1个顾客到达，其概率为λ△t=λt/n，在△t 内也可能没有顾客到达，其概率为 1-λ△t=1-λt/n 。 记[0,t）内有k个顾客到达的概率为Pk（t）， 则 Pk（t）= = = k =0,1,2, … 由于普阿松流与实际流的近似性，更由于普阿松流容易处理， 因此排队论中大量研究的是普阿松流情况。事实上，应用排队论来 研究实际问题到目前为止也主要限于普阿松流，对非普阿松流的情 况，大多还没有得到满意的分析解。 k n k n n λ t 1 n C λ t lim k n − → − k n k n n λ t 1 n λ t k! n n 1 n k 1 lim − → − − − + ( ) ( ) λ t k n n k e k! λ t n λ t lim1 k! λ t − → − =
2.2负指数分布 在实际排队系统中服务时间的概率分布可以是各种形式，但在 排队论中，最容易进行数学处理、最常用的一种重要分布是负指数 分布。设T是一个以μ为参数的负指数分布，它的概率密度函数为： ue-ut,t≥0 f)= 0,tK0 它的分布函数是 P{T≤t}=1-ew (t>0) 数学期望E(T)=1/μ，方差D(T)=1/u2 负指数分布具有下列性质： (1)由条件概率公式容易证明 P{T>什s|T>s=P{T>t) 这个性质称为无记忆性或马尔可夫性。若T表示排队系统中顾客到 达的间隔时间，那么这个性质说明一个顾客到达所需的时间与过去 一个顾客到达所需的时间s无关，所以这种情况下的顾客到达是纯随 机的。 (2)当输入过程是普阿松流时，相继到达的顾客的间隔时间T服 从负指数分布
2.2 负指数分布 在实际排队系统中服务时间的概率分布可以是各种形式，但在 排队论中，最容易进行数学处理、最常用的一种重要分布是负指数 分布。设T是一个以μ为参数的负指数分布，它的概率密度函数为： = − 0,t 0 μe ,t 0 f t μt T 它的分布函数是 P｛T≤t｝=1-e -μt （t＞0） 数学期望E（T）=1/μ，方差D（T）=1/ μ2 负指数分布具有下列性质： ⑴由条件概率公式容易证明 P｛T ＞ t+s｜T＞s｝=P｛T＞t｝ × 这个性质称为无记忆性或马尔可夫性。若T表示排队系统中顾客到 达的间隔时间，那么这个性质说明一个顾客到达所需的时间与过去 一个顾客到达所需的时间s无关，所以这种情况下的顾客到达是纯随 机的。 ⑵当输入过程是普阿松流时，相继到达的顾客的间隔时间T服 从负指数分布
事实上，对于普阿松流，若顾客到达的间隔时间T≤，则在O,t) 内至少有1个顾客到达，从而 P{T≤t}=1-Po(t)=leM (t>0) 即T服从参数为入的负指数分布。 因此，相继到达的间隔时间是独立且为相同参数的负指数分布， 与输入过程为普阿松流（参数为）)是等价的。 根据负指数分布与普阿松流的关系可以推出，当服务机构对顾 客的服务时间服从参数为的负指数分布，如果服务机构处于忙期， 则该服务机构的输出，即服务完毕离开服务机构的顾客数将是眼从 普阿松分布的普阿松流。其中μ为每个顾客的平均服务时间，也是 顾客相继离开的间隔
事实上，对于普阿松流，若顾客到达的间隔时间T≤t，则在[0，t） 内至少有1个顾客到达，从而 P｛T≤t｝=1- P0（t） =1-e -λt （t＞0） 即T服从参数为λ的负指数分布。 因此，相继到达的间隔时间是独立且为相同参数的负指数分布， 与输入过程为普阿松流（参数为λ）是等价的。 根据负指数分布与普阿松流的关系可以推出，当服务机构对顾 客的服务时间服从参数为μ的负指数分布，如果服务机构处于忙期， 则该服务机构的输出，即服务完毕离开服务机构的顾客数将是服从 普阿松分布的普阿松流。其中μ为每个顾客的平均服务时间，也是 顾客相继离开的间隔
2.3爱尔朗分布 当服务工作由若干项串联组成，对每位顾客的总服务时间T是 随机变量，关于T的概率分布，可以证明如下结论： 设 1°服务工作由k个服务项目串联而成。 2°第i个项目的服务时间v是随机变量，服从参数ku的负指数 分布，i=1,2,…,k. 3°，，.k是相互独立的随机变量，那么，总服务时间 T=vtv2+…+. 服从密度函数为b -知t≥0 k-1 的概率分布，称T服从k阶爱尔朗分布。 数学期望E(T)=1/,方差D(T)=1/ku2
2.3 爱尔朗分布 当服务工作由若干项串联组成，对每位顾客的总服务时间T是 随机变量，关于T的概率分布，可以证明如下结论： 设 1°服务工作由k个服务项目串联而成。 2°第i 个项目的服务时间vi 是随机变量，服从参数kμ的负指数 分布，i =1,2, …,k. 3° v1，v2，… vk是相互独立的随机变量,那么，总服务时间 T=v1+v2+…+ vk 服从密度函数为 的概率分布，称T服从k阶爱尔朗分布。 数学期望E（T）=1/μ，方差D（T）=1/ kμ2 ( ) t 0 k 1! kμ kμ t b t , kμ t k 1 k e − = − −