S2.4可逆矩阵 35 3.判断下列方阵A是否可逆方阵，或者求a,,G,d应满足的充分必要条件，使得A是可逆方阵. 当A是可逆方阵时，求A一1 0 1 /1100 /0100 1-11-1 e 0110 1010 -11 (3) 11 0011 0101 -10 0 1 -1001/ 0010/ a b c d ob c d 1 a a2 a3 -b a -d c -b 0 b c 1b2 (④ -c d a -b () (6) -c -6 0 b 1c22 -d -c b a -d-e-b0/ 1 d pe d aa+1a+2a+3 a2(a+1)2(a+2y(a+32 (7) bb+1b+2b+3 P(6+1)2(b+2)2(6+3)2 ec+1c+2c+3 c2(c+1)2(c+2)2(e+3)2 dd+1d+2d+3 de(d+12(d+2y2(d+32 4.设A=(a)是n阶三角方阵.证明：A是可逆方阵当且仅当a≠0 5.设A是n阶可逆方阵.证明： (1)若A是上/下三角方阵，则A1也是上/下三角方阵 (2)若A是（反）对称方阵，则A-1也是（反）对称方阵。 (3)若A是（反）Hermite方阵，则Al也是（反）Hermite方阵 6.设n阶方阵A满足A=M,k是正整数，入≠1.证明：1-A是可逆方阵，并且 -A1=1+A+++4- 7.设n阶方阵A=(ab,B=-A,u=ab,n≥2.证明： (1)A2=A,B2=(2-B-A(A-. ②B是可逆方阵当且仅当入和小并粗17+-可A 1 9.设A,B是方阵.证明：A⑧B是可逆方阵当且仅当A,B都是可逆方阵，并且 (A8B-1=(A)②(B-). 10.(Sherman--Morrison-Woodbury公式)设A是m阶可逆方阵，B是m×n矩阵，C是n×m 矩阵.证明：A+BC是可逆方阵当且仅当I+CA1B是可逆方阵，并且 (A+BC)-1=A-1-A-B(I+CA-B)-CA-I 特别，Im-BC是可逆方阵当且仅当I。-CB是可逆方阵，并且 (Im -BC)-1=Im+B(In-CB)-1C
§2.4 可逆矩阵 35 3. 判断下列方阵 A 是否可逆方阵，或者求 a, b, c, d 应满足的充分必要条件，使得 A 是可逆方阵． 当 A 是可逆方阵时，求 A−1． (1) 1 1 0 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 0 0 1 (2) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 1 (3) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 (4) a b c d −b a −d c −c d a −b −d −c b a (5) 0 b c d −b 0 b c −c −b 0 b −d −c −b 0 (6) 1 a a2 a 3 1 b b2 b 3 1 c c2 c 3 1 d d2 d 3 (7) a a + 1 a + 2 a + 3 b b + 1 b + 2 b + 3 c c + 1 c + 2 c + 3 d d + 1 d + 2 d + 3 (8) a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 4. 设 A = (aij ) 是 n 阶三角方阵．证明：A 是可逆方阵当且仅当 Qn i=1 aii 6= 0． 5. 设 A 是 n 阶可逆方阵．证明： (1) 若 A 是上/下三角方阵，则 A−1 也是上/下三角方阵． (2) 若 A 是 (反) 对称方阵，则 A−1 也是 (反) 对称方阵． (3) 若 A 是 (反) Hermite 方阵，则 A−1 也是 (反) Hermite 方阵． 6. 设 n 阶方阵 A 满足 Ak = λI，k 是正整数，λ 6= 1．证明：I − A 是可逆方阵，并且 (I − A) −1 = 1 1 − λ (I + A + A 2 + · · · + A k−1 ). 7. 设 n 阶方阵 A = (aibj )，B = λI − A，µ = Pn i=1 aibi，n ⩾ 2．证明： (1) A2 = µA，B2 = (2λ − µ)B − λ(λ − µ)I． (2) B 是可逆方阵当且仅当 λ ∈ { / 0, µ}，并且 B−1 = 1 λ I + 1 λ(λ − µ) A． 8. 设 A, B 分别是 m × n 和 n × m 的矩阵．何时 M = A O O B! 是可逆方阵？并求 M−1． 9. 设 A, B 是方阵．证明：A ⊗ B 是可逆方阵当且仅当 A, B 都是可逆方阵，并且 (A ⊗ B) −1 = (A −1 ) ⊗ (B −1 ). 10. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 A 是 m 阶可逆方阵，B 是 m × n 矩阵，C 是 n × m 矩阵．证明：A + BC 是可逆方阵当且仅当 I + CA−1B 是可逆方阵，并且 (A + BC) −1 = A −1 − A −1B(I + CA−1B) −1CA−1 . 特别，Im − BC 是可逆方阵当且仅当 In − CB 是可逆方阵，并且 (Im − BC) −1 = Im + B(In − CB) −1C
36 第二幸矩阵运算 L.设n阶可道方阵A=a,)的元素都是可微函数，证明：心=一A公 da 12.设n阶复数方阵A=(a)满足la>∑al片.A称为严格行对角优的。 证明：线性方程组A红=0只有零解，从而A是可逆方阵。 13.设n阶整数方阵A=(a,》,当j整除i时，a=1,否则a=0.证明 (-1)5,x是k个不同素数的乘积： A1=(（u()）其中μ回)= 0,否则. 注：A是M6bius变换/回）→g四=的矩晖表示，)称为M6ius西数 14.首先给出几个定义. ·对于任意M∈m,若存在置换方阵P使得PrMP=:Me）,其中Ma,2 0M2 都是阶数≥1的方阵，则M称为可约的，否则M称为不可约的. ·若M∈Rmxm的元素都≥0，则M称为非负矩阵. ·对于非负矩阵M∈Rnxm,若存在正整数k使得的元素都>0，则M称为本原的， 否则M称为非本原的. 设A∈Rmxm是非负矩阵.证明： (但)A是不可约的女存在正整数k≤n使得I+A+…十A-1的元素都是正实数 存在正实数入使得(1-A)1的元素都是正实数. (②)存在置换方阵P使得PTAP是准上三角方阵，其中每个准对角块都是不可约方阵 (3)若A是本原的，则A是不可约的. (④)若A是非本原且不可约的，则存在正整数m≥2和置换方阵P,使得 /0A PTAP= 0 Am-1 Am 0 其中每个准对角块都是零方阵，空白处元素都是0
36 第二章 矩阵运算 11. 设 n 阶可逆方阵 A = aij (x) 的元素都是可微函数．证明：d(A−1 ) dx = −A−1 dA dx A−1． 12. 设 n 阶复数方阵 A = (aij ) 满足 |aii| > P j̸=i |aij |，∀i．A 称为严格行对角优的． 证明：线性方程组 Ax = 0 只有零解，从而 A 是可逆方阵． 13. 设 n 阶整数方阵 A = (aij )，当 j 整除 i 时，aij = 1，否则 aij = 0．证明： A −1 = µ( i j )aij , 其中 µ(x) = (−1)k , x 是 k 个不同素数的乘积; 0, 否则. 注：A 是 Möbius 变换 f(x) 7→ g(x) = P d|x f(d) 的矩阵表示，µ(x) 称为 Möbius 函数． 14. 首先给出几个定义． • 对于任意 M ∈ F n×n，若存在置换方阵 P 使得 P TMP = M11 M12 O M22! ，其中 M11, M22 都是阶数 ⩾ 1 的方阵，则 M 称为可约的，否则 M 称为不可约的． • 若 M ∈ R m×n 的元素都 ⩾ 0，则 M 称为非负矩阵． • 对于非负矩阵 M ∈ R n×n，若存在正整数 k 使得 Mk 的元素都 > 0，则 M 称为本原的， 否则 M 称为非本原的． 设 A ∈ R n×n 是非负矩阵．证明： (1) A 是不可约的 ⇔ 存在正整数 k ⩽ n 使得 I + A + · · · + Ak−1 的元素都是正实数 ⇔ 存在正实数 λ 使得 (λI − A) −1 的元素都是正实数． (2) 存在置换方阵 P 使得 P T AP 是准上三角方阵，其中每个准对角块都是不可约方阵． (3) 若 A 是本原的，则 A 是不可约的． (4) 若 A 是非本原且不可约的，则存在正整数 m ⩾ 2 和置换方阵 P，使得 P T AP = O A1 O . . . . . . Am−1 Am O 其中每个准对角块都是零方阵，空白处元素都是 0．
第三章行列式 行列式的概念来源于求解n个方程和n个未知数的线性方程组.分别在1683和1693年，关 孝和叫与Leibnitz回独立地提出了行列式的概念，用于求解线性方程组.1750年，Cramer周发表了 著名的Cramer法则.1841年，Cauchy!网首先提出了现代的行列式概念及其记号.在1750至1900 这段时期，对行列式的研究成为线性代数的重要内容.自1858年Cayley创立矩阵论以来，矩阵 逐渐发展为线性代数的主要组成部分和重要的数学工具，而行列式则逐渐变成矩阵理论的一个小分 支 S3.1行列式的定义 关于行列式的概念，有许多形式不同但实质等价的定义.大致有下列几种方式： 。把行列式看作具有特定性质的函数。 ·直接给出n阶行列式的完全展开式. 。通过n一1阶行列式归纳定义n阶行列式 ·定义行列式为平行多面体的有向体积. ·通过Grassmann!同代数定义行列式. 定义3.l.具有下列性质的m上的n元函数det(a1,a2,…,a)称为数域F上的n阶行列式. 1.(多重线性)行列式关于每个变量是线性的， det(…,a:+u8,…）=Adet(…,a,…）+μdet(…,3,…) 其中入，μ∈F,a,3∈Fm. 2.(反对称性)若存在两个变量相等，则行列式为0.从而，交换两个变量的位置，行列式反号。 det(…,a,…,a4,…）=0 dete,a…,a4…）=-det(…,a,…,ay…） 到Gabriel Cmer,1704-172,瑞士数学家. 1800-1877, 37
第三章 行列式 行列式的概念来源于求解 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组．分别在 1683 和 1693 年，关 孝和[1]与 Leibnitz[2]独立地提出了行列式的概念，用于求解线性方程组．1750 年，Cramer[3]发表了 著名的 Cramer 法则．1841 年，Cauchy[4]首先提出了现代的行列式概念及其记号．在 1750 至 1900 这段时期，对行列式的研究成为线性代数的重要内容．自 1858 年 Cayley 创立矩阵论以来，矩阵 逐渐发展为线性代数的主要组成部分和重要的数学工具，而行列式则逐渐变成矩阵理论的一个小分 支． §3.1 行列式的定义 关于行列式的概念，有许多形式不同但实质等价的定义．大致有下列几种方式： • 把行列式看作具有特定性质的函数． • 直接给出 n 阶行列式的完全展开式． • 通过 n − 1 阶行列式归纳定义 n 阶行列式． • 定义行列式为平行多面体的有向体积． • 通过 Grassmann[5]代数定义行列式． 定义 3.1. 具有下列性质的 F n 上的 n 元函数 det(α1, α2, · · · , αn) 称为数域 F 上的 n 阶行列式． 1. (多重线性) 行列式关于每个变量是线性的． det(· · · , λαi + µβi , · · ·) = λ det(· · · , αi , · · ·) + µ det(· · · , βi , · · ·) 其中 λ, µ ∈ F，αi , βi ∈ F n． 2. (反对称性) 若存在两个变量相等，则行列式为 0．从而，交换两个变量的位置，行列式反号． det(· · · , αi , · · · , αi , · · ·) = 0 det(· · · , αj , · · · , αi , · · ·) = − det(· · · , αi , · · · , αj , · · ·) [1]Seki Takakazu，约 1642–1708，日本数学家． [2]Gottfried Wilhelm Leibniz，1646–1716，德国数学家、哲学家． [3]Gabriel Cramer，1704–1752，瑞士数学家． [4]Augustin-Louis Cauchy，1789–1857，法国数学家． [5]Hermann Günther Grassmann，1809–1877，德国数学家． 37
38 第三章行列式 3.(规范性)标准单位向量组的行列式等于1. det(e,e2,…,en)=1 简而言之，行列式det(a,2: )是关于n个向量a1,,a∈m的多元函数，行 列式det(a,a2,·,an)也可以看作是关于方阵A∈mxn的函数，记作det(A)或A,其中 a1,a2,…,an是A的行向量.设A=(a)n×m,则det(A)还可以看作是关于n2个变元a,∈F 的多元多项式. 定理31.由定义3.1可知，行列式具有下列性质，其中入，1,2，…，入n∈F 1.若存在a;=0,则det(a1,02,…,an)=0. 2.若存在a=a,i≠j,则det(a1,a2,…,an)=0. 3.det(1a1,22,…,Anan)=d12…ndet(a,2,…,an) 4.det(…,a4,…,a,…)=det(…,a4+Aa…,a…）,i≠j: 全定义31的合理性尚存在疑问.如定义31所述的行列式函数是否存在？是否唯一？ 定义3.2.设。=(a1,o2,…,0n)是n个两两不同的实数的一个排列.满足i<j且，>o,的有 序实数对(o,0)称为g中的一个逆序.。中逆序的个数称为。的逆序数，记作T(a). 1,2,…,n的所有排列的集合记作S.每个排列。都可以看作是集合{仁，2，·，n上的一一 映射.在映射的复合运算下，Sn构成群，称为n次对称群. 例31.降序排列。=m,n-1,2,)的逆序数7o)=1+2+…十a-)=-业. 定理3.2.交换排列。中任意两项的位置，所得排列记作G,则T()与T()具有不同的奇偶性 证明.设行由交换口的第，j项得到，i<i.考虑。和行中包含o或o的数对. ·当k<i或k>j时，(a,)是中的逆序台(a,)是中的逆序，(,)是中的逆 序分(,0)是中的逆序 ·当i<k<j时，(a,)是口中的逆序台(ok,)不是中的逆序，(ak,)是。中的逆序 台(a,0)不是中的逆序. ·(口，0)是。中的逆序台（口）不是中的逆序 综上，共有2-)-1个数对的逆序性发生改变.因此，r()-t(a)是奇数。 对于任意排列a,行∈S,如果可以经过x次交换把。变成，则可以经过x次交换把变 成。，如果还可以经过y次交换把。变成元，则可以经过x+!次交换把。变成。.根据定理3.2， x+一定是偶数，即(-1=(-1)y 例3.2.设a=(o1,02,…on)∈S.det(eaa,eaa,…,ea)=(-1)ro. 解答.依次取k=1,2,…,n-1,设。中形如(*，的逆序共有mk个，则可经过mk次相邻元素 的交换，把k换到位置k,同时保持其它数的相对顺序不变.合计经过()=∑m次交换把。 变成排列(1,2，…，n.因此，det(eeaa…,ea)-(-1)()det(e,e2,…,C)=(-1)ro.口
38 第三章 行列式 3. (规范性) 标准单位向量组的行列式等于 1． det(e1, e2, · · · , en) = 1 简而言之，行列式 det(α1, α2, · · · , αn) 是关于 n 个向量 α1, α2, · · · , αn ∈ F n 的多元函数．行 列式 det(α1, α2, · · · , αn) 也可以看作是关于方阵 A ∈ F n×n 的函数，记作 det(A) 或 |A|，其中 α1, α2, · · · , αn 是 A 的行向量．设 A = (aij )n×n，则 det(A) 还可以看作是关于 n 2 个变元 aij ∈ F 的多元多项式． 定理 3.1. 由定义 3.1 可知，行列式具有下列性质，其中 λ, λ1, λ2, · · · , λn ∈ F． 1. 若存在 αi = 0，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0． 2. 若存在 αi = λαj，i 6= j，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0． 3. det(λ1α1, λ2α2, · · · , λnαn) = λ1λ2 · · · λn det(α1, α2, · · · , αn)． 4. det(· · · , αi , · · · , αj , · · ·) = det(· · · , αi + λαj , · · · , αj , · · ·)，∀i 6= j． 定义 3.1 的合理性尚存在疑问．如定义 3.1 所述的行列式函数是否存在？是否唯一？ 定义 3.2. 设 σ = (σ1, σ2, · · · , σn) 是 n 个两两不同的实数的一个排列．满足 i < j 且 σi > σj 的有 序实数对 (σi , σj ) 称为 σ 中的一个逆序．σ 中逆序的个数称为 σ 的逆序数，记作 τ (σ)． 1, 2, · · · , n 的所有排列的集合记作 Sn．每个排列 σ 都可以看作是集合 {1, 2, · · · , n} 上的一一 映射．在映射的复合运算下，Sn 构成群，称为 n 次对称群． 例 3.1. 降序排列 σ = (n, n − 1, · · · , 2, 1) 的逆序数 τ (σ) = 1 + 2 + · · · + (n − 1) = n(n − 1) 2 ． 定理 3.2. 交换排列 σ 中任意两项的位置，所得排列记作 σe，则 τ (σ) 与 τ (σe) 具有不同的奇偶性． 证明. 设 σe 由交换 σ 的第 i, j 项得到，i < j．考虑 σ 和 σe 中包含 σi 或 σj 的数对． • 当 k < i 或 k > j 时，(σk, σi) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σk, σi) 是 σe 中的逆序，(σj , σk) 是 σ 中的逆 序 ⇔ (σj , σk) 是 σe 中的逆序． • 当 i < k < j 时，(σi , σk) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σk, σi) 不是 σe 中的逆序，(σk, σj ) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σj , σk) 不是 σe 中的逆序． • (σi , σj ) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σj , σi) 不是 σe 中的逆序． 综上，共有 2(j − i) − 1 个数对的逆序性发生改变．因此，τ (σe) − τ (σ) 是奇数． 对于任意排列 σ, σe ∈ Sn，如果可以经过 x 次交换把 σ 变成 σe，则可以经过 x 次交换把 σe 变 成 σ．如果还可以经过 y 次交换把 σ 变成 σe，则可以经过 x + y 次交换把 σ 变成 σ．根据定理 3.2， x + y 一定是偶数，即 (−1)x = (−1)y． 例 3.2. 设 σ = (σ1, σ2, · · · , σn) ∈ Sn．det(eσ1 , eσ2 , · · · , eσn ) = (−1)τ(σ)． 解答. 依次取 k = 1, 2, · · · , n − 1，设 σ 中形如 (∗, k) 的逆序共有 mk 个，则可经过 mk 次相邻元素 的交换，把 k 换到位置 k，同时保持其它数的相对顺序不变．合计经过 τ (σ) = nP−1 k=1 mk 次交换把 σ 变成排列 (1, 2, · · · , n)．因此，det(eσ1 , eσ2 , · · · , eσn ) = (−1)τ(σ) det(e1, e2, · · · , en) = (−1)τ(σ)．
S3.1行列式的定义 下面，我们推导行列式函数的代数表达式. 设a4=(a1,a2 ,),i=1,2,…,n.根据定义3.1 da,ae…a)=dat(ayer∑o,e…,∑ayg aiazjandet(ee) aa2a…nj det(e,eja,…,en） (aa)ES (3.1) n)ES. (3.1)式称为dct(a1,a2,…,an)或det(a)的完全展开式.许多教科书直接把它作为行列式的定 义.记(3.1)式定义的多元函数为△(1,a2…,an).容易验证△(a1,2 ,an)满足定义3.1所 述的多重线性和规范性.由定理3.2可得△(a,a2,·,an)满足反对称性.因此，定义3.1中的行 列式函数det(a1,a2,·,an)是存在且唯一的，就是△(a1,a2,·,a). 例3.31阶行列式dcta)=a,2阶行列式a1a2 =a11a2-a1221,3阶行列式 021022 a11a12a13 21a2a23=a1a223g-a1a2302+a1202aa31-a1221a3g+a1321a32-a1302231 a31 a32 033 例3.4.设A=(a)nxn是上三角方阵，则det(A)=a11a2…an· 证明.在det(A)的完全展开式中，当(i,j2,…,jn)≠(1,2，…，n川时，a12方…ann=0.口 例3.5.设分块矩阵A=(Ag)pxp是准上三角方阵，并且每个A:是方阵，则 det(A-det(A). 证明.设A=(a)x,当p=2时，设A11是r阶方阵，A2是n-r阶方阵，则 det(A)= (-l）ra.la2n…ann （-l)r6,…rtr6r*1nla1.a2a0n =det(An)det(A22). 当≥3，可先起A分块良（怎瓣）得如国=如出国，得对B鞋线分块由 此可得det(A)=det(An)det(A)…det(4m) 行列式的完全展开式含有！个单项式.当n较大时，利用完全展开式求一般n阶行列式的计 算量非常巨大，不容易实现.通常是利用行列式的定义及性质，通过初等变换把方阵变成三角方阵， 从而求得原方阵的行列式
§3.1 行列式的定义 39 下面，我们推导行列式函数的代数表达式． 设 αi = (ai1, ai2, · · · , ain)，i = 1, 2, · · · , n．根据定义 3.1， det(α1, α2, · · · , αn) = det Xn j=1 a1jej , Xn j=1 a2jej , · · · , Xn j=1 a1jej ! = X 1⩽j1,j2,··· ,jn⩽n a1j1 a2j2 · · · anjn det(ej1 , ej2 , · · · , ejn ) = X (j1,j2,··· ,jn)∈Sn a1j1 a2j2 · · · anjn det(ej1 , ej2 , · · · , ejn ) = X (j1,j2,··· ,jn)∈Sn (−1)τ(j1,j2,··· ,jn) a1j1 a2j2 · · · anjn . (3.1) (3.1) 式称为 det(α1, α2, · · · , αn) 或 det(aij ) 的完全展开式．许多教科书直接把它作为行列式的定 义．记 (3.1) 式定义的多元函数为 ∆(α1, α2, · · · , αn)．容易验证 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足定义 3.1 所 述的多重线性和规范性．由定理 3.2 可得 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足反对称性．因此，定义 3.1 中的行 列式函数 det(α1, α2, · · · , αn) 是存在且唯一的，就是 ∆(α1, α2, · · · , αn)． 例 3.3. 1 阶行列式 det(a) = a，2 阶行列式 a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21，3 阶行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 − a11a23a32 + a12a23a31 − a12a21a33 + a13a21a32 − a13a22a31． 例 3.4. 设 A = (aij )n×n 是上三角方阵，则 det(A) = a11a22 · · · ann． 证明. 在 det(A) 的完全展开式中，当 (j1, j2, · · · , jn) 6= (1, 2, · · · , n) 时，a1j1 a2j2 · · · anjn = 0． 例 3.5. 设分块矩阵 A = (Aij )p×p 是准上三角方阵，并且每个 Aii 是方阵，则 det(A) = Yp i=1 det(Aii). 证明. 设 A = (aij )n×n．当 p = 2 时，设 A11 是 r 阶方阵，A22 是 n − r 阶方阵，则 det(A) = X (j1,j2,··· ,jn)∈Sn (−1)τ(j1,j2,··· ,jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = X (j1,··· ,jr)是(1,··· ,r)的排列 (jr+1,··· ,jn)是(r+1,··· ,n)的排列 (−1)τ(j1,··· ,jr)+τ(jr+1,··· ,jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = det(A11) det(A22). 当 p ⩾ 3 时，可先把 A 分块成 A11 ∗ O B! ，得 det(A) = det(A11) det(B)．再对 B 继续分块．由 此可得 det(A) = det(A11) det(A22)· · · det(App)． 行列式的完全展开式含有 n! 个单项式．当 n 较大时，利用完全展开式求一般 n 阶行列式的计 算量非常巨大，不容易实现．通常是利用行列式的定义及性质，通过初等变换把方阵变成三角方阵， 从而求得原方阵的行列式．