数学分析A1 作者：原生生物QQ:3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意」 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义1实数完各性：全体无尽小数口实数（教材P3) 可定义为此推出下方6条等价定义（定理） 无穷递降法的应用 结论1neN”,meZ,n+m2→V斤Q(教材P5) 证明思路反证，考虑√万整数部分 定义2极限的E-N定义（教材P9) 补充可替换为e(0,1)或Ian-al<Me(M为正常数)或lan-al≤ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论21im元=1（谢惠民P16) 证明思路算术-几何均值放大为1+后 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为0等等） 结论31im尝=0→m"=0(做材P12) 证明思路分am有无最大值，有易证，无则先考虑max增大时子列。再放缩其余 定义3数列有界性（教材P9) 定义4数列单调性（教材P26) 补充收敛数列性质（谢惠民P17起，均由定义证明）： 极限唯 有界性 *保序性（蕴含保号性、夹通定理） (注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于) (保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内) 结论4ima=c<1→mam=0(谢惠民P28) 证明思路考虑牛
数学分析 A1 作者：原生生物 QQ：3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意： 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义 1 实数完备性：全体无尽小数 ⇔ 实数（教材 P3） *可定义为此推出下方 6 条等价定义（定理） *无穷递降法的应用 结论 1 n ∈ ℕ ∗ , ∀m ∈ Z, n ≠ m2 ⇒ √n ∉ ℚ（教材 P5） 证明思路 反证，考虑√𝑛整数部分 定义 2 极限的 ϵ − N 定义（教材 P9） 补充 可替换为 ∀ϵ ∈ (0 , 1) 或 |𝑎𝑛 − 𝑎| < Mϵ（M 为正常数）或 |𝑎𝑛 − 𝑎| ≤ ϵ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论 2 lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑛 = 1（谢惠民 P16） 证明思路 算术-几何均值放大为1 + 2 √𝑛 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为 0 等等） 结论 3 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑚𝑎𝑥𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 𝑛 = 0（教材 P12） 证明思路 分𝑎𝑛有无最大值，有易证，无则先考虑 max 增大时子列，再放缩其余 定义 3 数列有界性（教材 P9） 定义 4 数列单调性（教材 P26） 补充 收敛数列性质（谢惠民 P17 起，均由定义证明）： *极限唯一 *有界性 *保序性（蕴含保号性、夹逼定理） （注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于） （保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内） 结论 4 lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = c < 1 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0（谢惠民 P28） 证明思路 考虑 𝑐+1 2
结论5收敛数列必含最大项或最小项（谢惠民P18) 证明思路任取两不等项考察 *保四则运算（注意除法条件） 定义5子列定义（数材P14) 补充数列收敛台一切子列收敛 证明思路左推右由定义，右推左任取一极限说明（讲义2） 结论6 若数列可被分划为有限个子列（即子列互相不交，并集为原数列），则数列存 在极限一这些子列存在相同极限 证明思路右推左利用定义（教材P14类似证明） 定义6极限推广，无穷大与无穷小（教材P24) 补充无穷小相关定理（教材P17) *a>1,t>0,lnn《n《an《l《nn(谢惠民P53.实质是阶的概念】 *分段证明无穷小（以下三结论均可以使用此证明方式） 结论7巴=c中偏=c(Ce0平均威柯西命愿，数材P1 +此平均可改写为秦法形式 结论8n,keN,k>0,2设-1tnk=1,=0,lim an=a→lim21nkak=a(特 普利茨定理，教材P23) 结论91imn=0,3K,w∈，lbyl≤K,2m=1yn-l→im2n=0 (谢惠民P58) *特普利茨和$t02定理应用范围有不少重合，但仍有其独特作用 *这类方法对涉及两个数列极限生成的无穷和式时尤其有用 结论10So2定理（教材P51,讲义3） 二型b>bmb=+m,m=Am= bn b0.d 0.ling 证明思路合分比不等式或特普利茨定理 证明技巧：用定义取出一列数累加（与函数极限联系） 定要注意是否可以直接使用 *几乎是求极限题中最常用的技巧 *使用技巧：取对数 结论11im痘=e +使用技巧：用来去除n(感觉不满足条件时可取倒数)（谢惠民P274第3题） 结论12ma,21听=1→imma=1(徽材P54 证明思路令1a说=Sn后进行处理
结论 5 收敛数列必含最大项或最小项（谢惠民 P18） 证明思路 任取两不等项考察 *保四则运算（注意除法条件） 定义 5 子列定义（教材 P14） 补充 数列收敛 ⇔ 一切子列收敛 证明思路 左推右由定义，右推左任取一极限说明（讲义 2） 结论 6 若数列可被分划为有限个子列（即子列互相不交，并集为原数列），则数列存 在极限 ⇔ 这些子列存在相同极限 证明思路 右推左利用定义（教材 P14 类似证明） 定义 6 极限推广，无穷大与无穷小（教材 P24） 补充 无穷小相关定理（教材 P17） *𝑎 > 1, 𝑡 > 0, ln 𝑛 ≪ 𝑛 𝑡 ≪ 𝑎 𝑛 ≪ 𝑛! ≪ 𝑛 𝑛（谢惠民 P53，实质是阶的概念） *分段证明无穷小（以下三结论均可以使用此证明方式） 结论 7 lim 𝑛→∞ an = c ⇒ lim 𝑛→∞ ∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 = c （Cesàro 平均或柯西命题，教材 P18） *此平均可改写为乘法形式 结论 8 n, k ∈ ℕ ∗ ,𝑡𝑛𝑘 > 0, ∑ 𝑡𝑛𝑘 𝑛 𝑘=1 = 1, lim 𝑛→∞ 𝑡𝑛𝑘 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = a ⇒ lim 𝑛→∞ ∑ 𝑡𝑛𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑎𝑘 = a（特 普利茨定理，教材 P23） 结论 9 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0, ∃𝐾, ∀𝑁 ∈ ℕ ∗ , ∑ |𝑦𝑖 | 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝐾, 𝑧𝑛 = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑛−𝑖 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 0 （谢惠民 P58） *特普利茨和 Stolz 定理应用范围有不少重合，但仍有其独特作用 *这类方法对涉及两个数列极限生成的无穷和式时尤其有用 结论 10 Stolz 定理（教材 P51，讲义 3） ∞ ∞型 𝑏𝑛+1 > 𝑏𝑛, lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = +∞, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 = A ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = A 0 0型 𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛, lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 = A ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = A 证明思路 合分比不等式或特普利茨定理 *证明技巧：用定义取出一列数累加（与函数极限联系） *一定要注意是否可以直接使用 *几乎是求极限题中最常用的技巧 *使用技巧：取对数 结论 11 lim 𝑛→∞ 𝑛 √𝑛! 𝑛 = e *使用技巧：用来去除 n（感觉不满足条件时可取倒数）（谢惠民 P274 第 3 题） 结论 12 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ∑ 𝑎𝑛 𝑛 2 𝑖=1 = 1 ⇒ lim 𝑛→∞ √3𝑛 3 𝑎𝑛 = 1（教材 P54） 证明思路 令 ∑ 𝑎𝑛 𝑛 2 𝑖=1 = 𝑆𝑛 后进行处理
不要忘记基本的代数变形处理！ 定义7m(1+月”=e(做材P31 证明思路利用单调有界定理 一常利用此式与(1+)”放缩e(如下方结论3) 结论13e=lim-0京（教材P31) 证明思路直接展开定义式 结论14eEQ(教材P33) 证明思路反证法 注意此两极限的精准程度差异巨大，第一个约为品，第二个约为，证明可通过归 纳等 定义8lim1员-ln(n+1)=y(教材P35) 证明思路仍然利用单调有界 结论15a4=1,a+1=a+中m品=万 证明思路平方后利用Stolz将lnn转化为n,再利用代数消去n 实数完备性的六个等价定理 结论16单调有界数列存极限（教材P26) 证明思路（由完备性）写出实数的小数表示后上升 证明有界性时可由估算或是猜测极限得到合理的界，如1+√2+…V元<2 结论17闭区间套定理（教材P28) 证明思路 (由单调有界定理)考虑区间两端点极限 定义9确界定义（教材P41) 结论18有界实数集存在确界（教材P41) 证明思路（由闭区间套定理）二分法构造区间套 结论19有跟开覆盖定理（教材P43】 证明思路 (由确界原理)勒贝格方法，考虑上确界 补充可改进为存在勒贝格数（谢惠民P82) 结论20有界数列必有收敛子列（教材P38) 证明思路（由有限覆盖定理）反证，若否，任意数存邻域只有有限项，矛盾 补充可改讲为单调收敛 结论21柯西收敛准则（教材P38) 证明思路 (由列紧定理)取出有界数列 结论15可由柯西收敛准则推出，故此六定理等价 *事实上，此六定理之间均可互相推导
*不要忘记基本的代数变形处理！ 定义 7 lim 𝑛→∞ (1 + 1 𝑛 ) 𝑛 = e（教材 P31） 证明思路 利用单调有界定理 *常利用此式与(1 + 1 𝑛 ) 𝑛+1 放缩 e（如下方结论 33） 结论 13 e = lim 𝑛→∞ ∑ 1 𝑖! 𝑛 𝑖=0 （教材 P31） 证明思路 直接展开定义式 结论 14 e ∉ ℚ（教材 P33） 证明思路 反证法 *注意此两极限的精准程度差异巨大，第一个约为 3 2𝑛 ，第二个约为 1 (𝑛+1)! ，证明可通过归 纳等 定义 8 lim n→∞ ∑ 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 − 𝑙𝑛(𝑛 + 1) = 𝛾（教材 P35） 证明思路 仍然利用单调有界 结论 15 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1 ∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 √𝑙𝑛 𝑛 = √2 证明思路 平方后利用 Stolz 将 ln n 转化为 n，再利用代数消去 n 实数完备性的六个等价定理 结论 16 单调有界数列存极限（教材 P26） 证明思路 （由完备性）写出实数的小数表示后上升 *证明有界性时可由估算或是猜测极限得到合理的界，如√1 + √2 + ⋯ √𝑛 < 2 结论 17 闭区间套定理（教材 P28） 证明思路 （由单调有界定理）考虑区间两端点极限 定义 9 确界定义（教材 P41） 结论 18 有界实数集存在确界（教材 P41） 证明思路 （由闭区间套定理）二分法构造区间套 结论 19 有限开覆盖定理（教材 P43） 证明思路 （由确界原理）勒贝格方法，考虑上确界 补充 可改进为存在勒贝格数（谢惠民 P82） 结论 20 有界数列必有收敛子列（教材 P38） 证明思路 （由有限覆盖定理）反证，若否，任意数存邻域只有有限项，矛盾 补充 可改进为单调收敛 结论 21 柯西收敛准则（教材 P38） 证明思路 （由列紧定理）取出有界数列 *结论 15 可由柯西收敛准则推出，故此六定理等价 *事实上，此六定理之间均可互相推导
*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论223A,B,R=AUB,Va∈A,beB,a<b→3maxA,minB或maxA,3mtnB (戴德金分制，谢惠民P96) 证明思路由确界可推得成立 此定理亦与以上等价 迭代生成数列的性质（联系导数） 结论23压缩数列（柯西型压缩/收敛型压缩）必收敛（讲义6） 证明思路分别由柯西收敛准则与定义易得 结论24选代生成数列只能收敛于不动点（第一律，谢惠民P49) 证明思路令递推公式两边趋于无穷 结论25迭代函数与数列单调性联系（第二律，谢惠民P49) 证明思路过论一次/一次洪代下的函数 结论26迭代生成数列的蛛网工作法收敛规律（谢惠民P51) 证明思路由前两结论可推得 *若迭代函数连续，则只需相邻项之差极限为0便能收敛（谢惠民P156) 结论27牛顿切线法求根（讲义5，实际为导数部分内容） 证明思路利用上述分析证明 结论28A>0,x>0,+1=→1imxn=V万（谢惠民P53) 正明思路注意到：一-识由压缩数列可得给论，或由选代现律证明 定义10极限点、数列上下极限（教材P45) 补充上下极限具有对偶关系、亦有保号性 (讲义6、教材P47、P50) 结论29上、下极限为数列极限点（教材P46) 证明思路任意小邻域内可取数列中的点 结论30皿a=mak(教材P48) 证明思路分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法证明有界等结论时可应 用) 结论31与上下极限相关的不等式（教材P49、P50) 证明思路由上个结论可以推得 以极值思想看待上下极限 结论321im(xrm+ax)=A,f(n+1)>fn),a>1,xn有界→mx= 证明思路不妨设A=0,对xn的任意极限点t,取出子列xkn,则x化)亦为子列.极限 点为-at,考虑xyrk》,极限点为a2t,若xn不收敛，当t为最大时，可证t>0,代入 条件可加强为fm)单射 若f(m)于n充分大时在正整数中存在反函数则只需正数a不为1（如f(n)=n+t) 结论33Vm,na+m≤a+am→m告=月（徽材P47、谢惠民P90)
*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论 22 ∃𝐴,𝐵, ℝ = 𝐴 ∪ 𝐵, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎 < 𝑏 ⇒ ∃𝑚𝑎𝑥𝐴, ∄𝑚𝑖𝑛𝐵或∄𝑚𝑎𝑥𝐴, ∃𝑚𝑖𝑛𝐵 （戴德金分割，谢惠民 P96） 证明思路 由确界可推得成立 *此定理亦与以上等价 迭代生成数列的性质（联系导数） 结论 23 压缩数列（柯西型压缩/收敛型压缩）必收敛（讲义 6） 证明思路 分别由柯西收敛准则与定义易得 结论 24 迭代生成数列只能收敛于不动点（第一律，谢惠民 P49） 证明思路 令递推公式两边趋于无穷 结论 25 迭代函数与数列单调性联系（第二律，谢惠民 P49） 证明思路 讨论一次/二次迭代下的函数 结论 26 迭代生成数列的蛛网工作法收敛规律（谢惠民 P51） 证明思路 由前两结论可推得 *若迭代函数连续，则只需相邻项之差极限为 0 便能收敛（谢惠民 P156） 结论 27 牛顿切线法求根（讲义 5，实际为导数部分内容） 证明思路 利用上述分析证明 结论 28 𝐴 > 0, 𝑥1 > 0, 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 2+3𝐴 3𝑥𝑛 2+𝐴 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = √𝐴（谢惠民 P53） 证明思路 注意到 𝑥𝑛+1 − √𝐴 = (𝑥𝑛−√𝐴) 3 3𝑥𝑛 2+𝐴 由压缩数列可得结论，或由迭代规律证明 定义 10 极限点、数列上下极限（教材 P45） 补充 上下极限具有对偶关系、亦有保号性（讲义 6、教材 P47、P50） 结论 29 上、下极限为数列极限点（教材 P46） 证明思路 任意小邻域内可取数列中的点 结论 30 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ inf 𝑘≥𝑛 𝑎𝑘（教材 P48） 证明思路 分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法，证明有界等结论时可应 用） 结论 31 与上下极限相关的不等式（教材 P49、P50） 证明思路 由上个结论可以推得 *以极值思想看待上下极限 结论 32 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑓(𝑛) + 𝑎𝑥𝑛) = A, f(𝑛 + 1) > f(𝑛), a > 1, xn有界 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝐴 𝑎+1 证明思路 不妨设𝐴 = 0，对𝑥𝑛的任意极限点𝑡，取出子列𝑥𝑘𝑛，则𝑥𝑓(𝑘𝑛)亦为子列，极限 点为−𝑎𝑡，考虑𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))，极限点为𝑎 2 𝑡，若𝑥𝑛不收敛，当𝑡为最大时，可证𝑡 > 0，代入 知𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))的极限更大，矛盾 *注意有界性条件的运用（极限点存在最大值） *条件可加强为𝑓(𝑛)单射 *若𝑓(𝑛)于𝑛充分大时在正整数中存在反函数则只需正数 a 不为 1（如f(n) = n + t） 结论 33 ∀𝑚, n, 𝑎𝑛+𝑚 ≤ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = inf 𝑛≥1 { 𝑎𝑛 𝑛 }（教材 P47、谢惠民 P90）
证明思路仍考虑证明大于等于且小于等于 *以整体思想看待上下极限 结论34xn>0→m(色a)”≥e(谢惠民P95.教材P84) 证明思路若否，某项后均小于e,将e放缩推知矛盾 *存在无限多项满足的反面为某项之后均不满足 结论35，=1a+1=1+左→man=警（谢惠民P63) 证明思路两边取上下极限.得到两个方程求解 +以夹逼思想看待上下极限 结论36如，≤四年：≤而≤面x,(谢惠民P91) 证明思路考虑一切收敛子列（此结论可通过乘积式得到关于“与√的结论） 二、函数极限 定义1集合的势（等价关系）（教材P59) 补充有限、可数、不可数定义，Q可数，R不可数 康托对角线法思路的应用（应用举例：证明上极限为极限点） 结论1fn:(0,+m)→R,m,imnx)=m→昕，m,im得=m(教材P89)》 证明思路构造每段与一定个数fn乘积相关的f 结论2可数个可数集并集可数（教材P60) 证明思路斜线行进法 定义2函数的运算、反函数、单调性、奇偶性（教材P66) 补充不动点与n周期点定义（教材P67、P115) 结论3严格单调函数存严格单调反函数 证明思路反证法.利用f。f1=id 定义3标准型函数极限∈一6定义（教材P68) 补充仍可类似数列极限替换条件 6与N均为多值对应.不为函数 结论4K、g为周期函数1im(f(x)-g(x)=0→f(x)=g)(谢惠民P156、讲义12) 证明思路将极限式拆分为三项之和，用绝对值适当放大得结论 结论5海涅归结原理（数列极限与函数极限关系）（教材P70、讲义8） 证明思路必要性易得，充分性通过逆否证明 可方便地用干说明极限不存在 条件可加强为单调数列（谢惠民P122) 可用数列极限说明函数极限性质：唯 局部有界、保序（保号/夹逼）、保四则运算 *函数的柯西收敛原理（仍由归结原理说明） *保复合性（注意条件！）
证明思路 仍考虑证明大于等于且小于等于 *以整体思想看待上下极限 结论 34 𝑥𝑛 > 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑥1+𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 ) 𝑛 ≥ 𝑒（谢惠民 P95，教材 P84） 证明思路 若否，某项后均小于 e，将 e 放缩推知矛盾 *存在无限多项满足的反面为某项之后均不满足 结论 35 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 1 + 1 𝑎𝑛 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = √5+1 2 （谢惠民 P63） 证明思路 两边取上下极限，得到两个方程求解 *以夹逼思想看待上下极限 结论 36 lim n→∞ xn ≤ lim n→∞ ∑ ai n i=1 n ≤ lim n→∞ ∑ ai n i=1 𝑛 ≤ lim n→∞ xn（谢惠民 P91） 证明思路 考虑一切收敛子列（此结论可通过乘积式得到关于𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 与√𝑎𝑛 𝑛 的结论） 二、函数极限 定义 1 集合的势（等价关系）（教材 P59） 补充 有限、可数、不可数定义，ℚ可数，ℝ不可数 *康托对角线法思路的应用（应用举例：证明上极限为极限点） 结论 1 𝑓𝑛: (0,+∞) → ℝ, ∀𝑛, lim 𝑥→∞ 𝑓𝑛 (𝑥) = ∞ ⇒ ∃𝑓, ∀𝑛, lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥) = ∞（教材 P89） 证明思路 构造每段与一定个数𝑓𝑛乘积相关的𝑓 结论 2 可数个可数集并集可数（教材 P60） 证明思路 斜线行进法 定义 2 函数的运算、反函数、单调性、奇偶性（教材 P66） 补充 不动点与 n 周期点定义（教材 P67、P115） 结论 3 严格单调函数存严格单调反函数 证明思路 反证法，利用f ∘ 𝑓 −1 = 𝑖𝑑 定义 3 标准型函数极限ϵ − δ定义（教材 P68） 补充 仍可类似数列极限替换ϵ条件 *δ与𝑁均为多值对应，不为ϵ函数 结论 4 f、g为周期函数, lim 𝑥→∞ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = g(𝑥)（谢惠民 P156、讲义 12） 证明思路 将极限式拆分为三项之和，用绝对值适当放大得结论 结论 5 海涅归结原理（数列极限与函数极限关系）（教材 P70、讲义 8） 证明思路 必要性易得，充分性通过逆否证明 *可方便地用于说明极限不存在 *条件可加强为单调数列（谢惠民 P122） *可用数列极限说明函数极限性质：唯一、局部有界、保序（保号/夹逼）、保四则运算 *函数的柯西收敛原理（仍由归结原理说明） *保复合性（注意条件！）