30 第二章矩阵运算 习题 1.证明定理2.4. 2.证明：对于三类初等方阵P,均存在列向量a,B使得P=I+aT. 3.若n维列向量a,B满足aTB=0,则n阶方阵P=1+a3T称为平延.证明：对于任意两 个不共线的列向量山，，存在平延P使得Pu= 4.设n阶方阵A的每行每列均恰有一个元素是1、其它元素都是0。A称为置换方阵.证明： (1)ATA=AAT=In. (②)可经过至多一1次交换两行（列）的操作，把A变为单位方阵。 5.设A是m×n矩阵，1,2，…，im是1,2，…，m的排列，1，j2,…,jn是1,2，…，n的排列. 证明：P=1n经“]和Q=1n以“】都是置换方阵，使得 PAQ=A班经 特别，当m=n且(1，i2,…,im)=O,,in)时，Q=pT 6.证明：任意T(A)都可以表示为 Tpq(a)Tw(b)Tp(-a)Te(-b) 的形式0，其中i≠，p≠gu≠" 7.证明：对于任意m×n矩阵A,存在一系列m阶初等方阵乃，P,·,P,和n阶置换方阵Q, I,* 使得B…BBAQ形如气（OO其中0≤r≤mimm, 8.对角元素都是1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵.证明：对于任意m×n矩 阵A,存在一系列m阶单位下三角的初等方阵A,P,…,P和m阶置换方阵Q,使得 P.…PBQA是上三角矩阵. 9.设R3中以工，，之轴为转轴的三类旋转变换分别对应矩阵 100 cos 0 sin cos0 -sin0 0 B(0)=0cos0-sin0,P(0)= 010 P3(0)=sino cos0 0 0 0 (1)证明：P(a)P(3)=P.(a+),,a,B. 001 (2)求a,02,A使得B(0)P(02)P(0)= 100 010/ (3)证明：对于任意3阶实数方阵A,存在01,2,03使得P(01)P(2)P(0)A是上三角方阵. 回在一个乘法群中，形如hg~的元素称为换位于
30 第二章 矩阵运算 习题 1. 证明定理 2.4． 2. 证明：对于三类初等方阵 P，均存在列向量 α, β 使得 P = I + αβT． 3. 若 n 维列向量 α, β 满足 α T β = 0，则 n 阶方阵 P = I + αβT 称为平延．证明：对于任意两 个不共线的列向量 u, v，存在平延 P 使得 P u = v． 4. 设 n 阶方阵 A 的每行每列均恰有一个元素是 1、其它元素都是 0．A 称为置换方阵．证明： (1) AT A = AAT = In． (2) 可经过至多 n − 1 次交换两行 (列) 的操作，把 A 变为单位方阵． 5. 设 A 是 m × n 矩阵，i1, i2, · · · , im 是 1, 2, · · · , m 的排列，j1, j2, · · · , jn 是 1, 2, · · · , n 的排列． 证明：P = Im[ i1 i2 ··· im 1 2 ··· m ] 和 Q = In[ 1 2 ··· n j1 j2 ··· jn ] 都是置换方阵，使得 P AQ = A[ i1 i2 ··· im j1 j2 ··· jn ]. 特别，当 m = n 且 (i1, i2, · · · , im) = (j1, j2, · · · , jn) 时，Q = P T． 6. 证明：任意 Tij (λ) 都可以表示为 Tpq(a)Tuv(b)Tpq(−a)Tuv(−b) 的形式[10]，其中 i 6= j，p 6= q，u 6= v． 7. 证明：对于任意 m × n 矩阵 A，存在一系列 m 阶初等方阵 P1, P2, · · · , Ps 和 n 阶置换方阵 Q， 使得 Ps · · · P2P1AQ 形如 Ir ∗ O O! ，其中 0 ⩽ r ⩽ min(m, n)． 8. 对角元素都是 1 的上 (下) 三角矩阵称为单位上 (下) 三角矩阵．证明：对于任意 m × n 矩 阵 A，存在一系列 m 阶单位下三角的初等方阵 P1, P2, · · · , Ps 和 m 阶置换方阵 Q，使得 Ps · · · P2P1QA 是上三角矩阵． 9. 设 R 3 中以 x, y, z 轴为转轴的三类旋转变换分别对应矩阵 P1(θ) = 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ , P2(θ) = cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ , P3(θ) = cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 . (1) 证明：Pi(α)Pi(β) = Pi(α + β)，∀i, α, β． (2) 求 θ1, θ2, θ3 使得 P1(θ1)P2(θ2)P3(θ3) = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ． (3) 证明：对于任意 3 阶实数方阵 A，存在 θ1, θ2, θ3 使得 P1(θ1)P2(θ2)P3(θ3)A 是上三角方阵． [10]在一个乘法群中，形如 ghg−1h −1 的元素称为换位子．
S2.4可逆矩降 31 S2.4可逆矩阵 在S2.1中定义了矩阵的加法、减法、数乘、乘法，以及正整数次幂的运算，定理2.2也表明单 位方阵是矩阵乘法的单位元，我们自然考虑是否能够定义矩阵的除法运算或负整数次幂运算.由于 矩阵乘法运算不满足交换律，我们有如下定义 定义2.8.设A∈m×m,B∈Fm×m.若AB=Im是单位方阵，则称A是B的一个左逆，B是A 的一个右逆.若A既有右逆B又有左逆C,则有C=C(AB)=(CA)B=B,此时A称为可逆 矩阵，B称为A的逆矩阵，记作A~ 显然，并非所有矩阵都是可逆矩阵。例如，零矩阵既没有左逆也没有右逆，不是可逆矩阵.那 么，如何判惭一个矩阵A是否可逆矩阵？定理2.9以线性方程组的形式给出了A是可逆矩阵的一 些充分必要条件。在第三章和第四章中，我们还将通过行列式和秩的概念给出A是可逆矩阵的其 它充分必要条件. 例212设4=气仁）：m、当5=-加0时，A是可运矩纯 -() 例2.13.设A= =”ea.当6=uxvw≠0时，A是可逆矩阵， A1=号(×w wxu uxv)=行均盟-明路-站5的-的 02一2D1tD1u2一2u1u1y一u2U1 在u×vw式中， (r1,T2,T3)×(31,2,）=(2g-T32,T3班-x1g,工12一x2h) 是上的向量积运算 (1,2,3)(h,，)=1+2欢十x3 是上的数量积运算. 例2.14.所有初等方阵都是可逆矩阵. 例2.15.m×n矩阵（亿O)是可逆矩阵的充分必要条件是m=n=r 00 根据定义，可逆矩阵具有以下常用性质。 定理2.6.若A是可逆矩阵，则A1和AT也是可逆矩阵，并且 (A-1)-1=A,(4)-1=(A-1)T
§2.4 可逆矩阵 31 §2.4 可逆矩阵 在 §2.1 中定义了矩阵的加法、减法、数乘、乘法，以及正整数次幂的运算，定理 2.2 也表明单 位方阵是矩阵乘法的单位元，我们自然考虑是否能够定义矩阵的除法运算或负整数次幂运算．由于 矩阵乘法运算不满足交换律，我们有如下定义． 定义 2.8. 设 A ∈ F m×n，B ∈ F n×m．若 AB = Im 是单位方阵，则称 A 是 B 的一个左逆，B 是 A 的一个右逆．若 A 既有右逆 B 又有左逆 C，则有 C = C(AB) = (CA)B = B，此时 A 称为可逆 矩阵，B 称为 A 的逆矩阵，记作 A−1． 显然，并非所有矩阵都是可逆矩阵．例如，零矩阵既没有左逆也没有右逆，不是可逆矩阵．那 么，如何判断一个矩阵 A 是否可逆矩阵？定理 2.9 以线性方程组的形式给出了 A 是可逆矩阵的一 些充分必要条件．在第三章和第四章中，我们还将通过行列式和秩的概念给出 A 是可逆矩阵的其 它充分必要条件． 例 2.12. 设 A = a b c d! ∈ F 2×2．当 δ = ad − bc 6= 0 时，A 是可逆矩阵， A −1 = 1 δ d −b −c a ! . 例 2.13. 设 A = u v w = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 ∈ F 3×3．当 δ = u × v · w 6= 0 时，A 是可逆矩阵， A −1 = 1 δ v × w w × u u × v = 1 δ v2w3 − v3w2 w2u3 − w3u2 u2v3 − u3v2 v3w1 − v1w3 w3u1 − w1u3 u3v1 − u1v3 v1w2 − v2w1 w1u2 − w2u1 u1v2 − u2v1 . 在 u × v · w 式中， (x1, x2, x3) × (y1, y2, y3) = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) 是 F 3 上的向量积运算， (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3 是 F 3 上的数量积运算． 例 2.14. 所有初等方阵都是可逆矩阵． 例 2.15. m × n 矩阵 Ir O O O! 是可逆矩阵的充分必要条件是 m = n = r． 根据定义，可逆矩阵具有以下常用性质． 定理 2.6. 若 A 是可逆矩阵，则 A−1 和 AT 也是可逆矩阵，并且 (A −1 ) −1 = A, (A T ) −1 = (A −1 ) T
第二章矩阵运算 定理2.7.设矩阵P=A1A2…Ak·若A1,A2,…,Ak都是可逆矩阵，则P也是可逆矩阵，并且 C-1=A1.…A5A 结合例2.14,2.15以及定理2.5.2.7，可得如下充分必要条件，来判断一个矩阵是否可逆. 定理28.A是可逆矩降当且仅当A是初等方阵的乘积。故可逆矩降一定是方阵. 定理2.9.设A是n阶方阵.下列叙述相互等价。 1.A是可逆方阵. 2矩阵方程AX=I有唯一解，即A有唯一的右逆. 3.对于任意n维列向量b,钱性方程组Ar=b有唯一解 4.线性方程组Ax=0有唯一解工=0. 证明.1→2：A-1是A的唯一右逆. 2→3：设AB=I,则Ax=b有解x=Bb.若A=b的解不唯一，则存在v≠0满足 A知=0，从而B+(。O)也是A的右逆，矛盾. 3→4：4是3的特殊情形. 4→1：根据定理2.5，存在非负整数r和初等方阵乃，…，P,Q1,…,Q,使得 4=n…r689）a@ 若r<n,则x=Q.…Qen≠0并且满足A虹=0，矛盾.故r=n,A=乃…P.Q:…Q1 根据定理2.7，A是可逆方阵。 在矩阵乘法运算下，数域F上n阶可逆方阵的全体构成群，称为一般线性群，记作GL(m,)· 根据定理2.9，求解矩阵方程AX=I是判断方阵A是否可逆矩阵以及求A1的通用方法， 与求解线性方程组Ax=b类似，对增广矩阵M=（A）施行一系列初等行变换，把它变成 （【X)的形式.此时，X即为A1.若矩阵方程AX=I无解，则A不是可逆矩阵. 123…n 12··n-1 例2.16.设n阶上三角方阵A 求A 12 解法一·对增广矩阵(A)施行初等行变换，从第一行开始，每行减去下一行，再重复一遍，得 /123…n /111…11 12…n-11 11.1 -1 12 11 1
32 第二章 矩阵运算 定理 2.7. 设矩阵 P = A1A2 · · · Ak．若 A1, A2, · · · , Ak 都是可逆矩阵，则 P 也是可逆矩阵，并且 C −1 = A −1 k · · · A −1 2 A −1 1 . 结合例 2.14, 2.15 以及定理 2.5, 2.7，可得如下充分必要条件，来判断一个矩阵是否可逆． 定理 2.8. A 是可逆矩阵当且仅当 A 是初等方阵的乘积．故可逆矩阵一定是方阵． 定理 2.9. 设 A 是 n 阶方阵．下列叙述相互等价． 1. A 是可逆方阵． 2. 矩阵方程 AX = I 有唯一解，即 A 有唯一的右逆． 3. 对于任意 n 维列向量 b，线性方程组 Ax = b 有唯一解． 4. 线性方程组 Ax = 0 有唯一解 x = 0． 证明. 1 ⇒ 2：A−1 是 A 的唯一右逆． 2 ⇒ 3：设 AB = I，则 Ax = b 有解 x = Bb．若 Ax = b 的解不唯一，则存在 v 6= 0 满足 Av = 0，从而 B + v O 也是 A 的右逆，矛盾． 3 ⇒ 4：4 是 3 的特殊情形． 4 ⇒ 1：根据定理 2.5，存在非负整数 r 和初等方阵 P1, · · · , Ps, Q1, · · · , Qt，使得 A = P1 · · · Ps Ir O O O! Qt · · · Q1. 若 r < n，则 x = Q −1 1 · · · Q −1 t en 6= 0 并且满足 Ax = 0，矛盾．故 r = n, A = P1 · · · PsQt · · · Q1． 根据定理 2.7，A 是可逆方阵． 在矩阵乘法运算下，数域 F 上 n 阶可逆方阵的全体构成群，称为一般线性群，记作 GL(n, F)． 根据定理 2.9，求解矩阵方程 AX = I 是判断方阵 A 是否可逆矩阵以及求 A−1 的通用方法． 与求解线性方程组 Ax = b 类似，对增广矩阵 M = A I 施行一系列初等行变换，把它变成 I X 的形式．此时，X 即为 A−1．若矩阵方程 AX = I 无解，则 A 不是可逆矩阵． 例 2.16. 设 n 阶上三角方阵 A = 1 2 3 · · · n 1 2 · · · n − 1 . . . . . . . . . 1 2 1 ．求 A−1． 解法一. 对增广矩阵 A I 施行初等行变换，从第一行开始，每行减去下一行，再重复一遍，得 1 2 3 · · · n 1 1 2 · · · n − 1 1 . . . . . . . . . . . . 1 2 1 1 1 → 1 1 1 · · · 1 1 −1 1 1 · · · 1 1 −1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 −1 1 1 →
S2.4可逆矩阵 33 1-21 1 -2· 故A 0】 01 解法二.可设A=I+2B+3B2+·+nB-1,其中B 满足Bm=O. 01 0 由BA=B+2B2+…+(m-1)Bm-1,得(-B)A=1+B+…+Bm-1,进而(-B)2A=L. /1-21 1-2 因此，A-1=(1-B)2=1-2B+B2 1 1 -2 1 下面，我们考虑分块矩阵的逆矩阵问题 例2.17.设P,Q是可逆方阵，X是m×n矩阵，Y是n×m矩阵. (6-(分69o) 例21设分块矩路A=(化)共中A年是为陈 ·当A4是可逆方阵时，有矩阵乘积分解 IoA0）IAA2 A=气4A5f0-A八oI) 上式称为Schurl公式，S=A-AAA2称为A1的Schur补.A是可逆方阵当且仅当 S是可逆方阵。此时， AT+ATA-44A-1 -S-1A4' S-1
§2.4 可逆矩阵 33 1 1 −2 1 1 1 −2 . . . . . . . . . . . . 1 1 1 −2 1 1 ．故 A−1 = 1 −2 1 1 −2 . . . . . . . . . 1 1 −2 1 ． 解法二. 可设 A = I + 2B + 3B2 + · · · + nBn−1，其中 B = 0 1 0 1 . . . . . . 0 1 0 满足 Bn = O． 由 BA = B + 2B2 + · · · + (n − 1)Bn−1，得 (I − B)A = I + B + · · · + Bn−1，进而 (I − B) 2A = I． 因此，A−1 = (I − B) 2 = I − 2B + B2 = 1 −2 1 1 −2 . . . . . . . . . 1 1 −2 1 ． 下面，我们考虑分块矩阵的逆矩阵问题． 例 2.17. 设 P, Q 是可逆方阵，X 是 m × n 矩阵，Y 是 n × m 矩阵． O Im In O !−1 = O In Im O ! , P O O Q!−1 = P −1 O O Q−1 ! , Im X O In !−1 = Im −X O In ! , Im O Y In !−1 = Im O −Y In ! . 例 2.18. 设分块矩阵 A = A1 A2 A3 A4 ! ，其中 A1, A4 都是方阵． • 当 A1 是可逆方阵时，有矩阵乘积分解 A = I O A3A −1 1 I ! A1 O O A4 − A3A −1 1 A2 ! I A−1 1 A2 O I ! . 上式称为 Schur[11]公式，S = A4 − A3A −1 1 A2 称为 A1 的 Schur 补．A 是可逆方阵当且仅当 S 是可逆方阵．此时， A −1 = I −A −1 1 A2 O I ! A −1 1 O O S−1 ! I O −A3A −1 1 I ! = A −1 1 + A −1 1 A2S −1A3A −1 1 −A −1 1 A2S −1 −S −1A3A −1 1 S −1 ! . [11]Issai Schur，1875–1941，德国数学家．Ferdinard Georg Frobenius 的学生．
34 第二章矩阵运算 ·类似地，当A4是可逆方阵时，有矩阵乘积分解 -6)-(a9) 上式也称为Schur公式，T=A:-A2AA称为A的Schur补.A是可逆方阵当且仅当 T是可逆方阵.此时， ”T-1-T-1A2Ax1 =气-ArA-A+At-AA ·当A41,A和A都是可逆方阵时，比较以上两个关于A1的表达式，可得S和T之间的联系 S-1=Ar+Ar'AsT-A2Ar,T-1=Af+Ar'A2S-AsAr! 倒2.19.设n阶下三角方阵A=(C)其中C=-是组合数.求4 系设-()-（任脚0<cm限据=项式定理 1 1+ Co CI...Cm 1 1+ (-1)C9(-1)m-1C…C 1+x 习题 1.证明定理2.6,2.7,2.8. 2.证明：上的向量积运算具有下列性质，其中a,b,c∈，μ∈F ()双线性(a+b)×c=(a×c)+μ(b×c,a×(Ab+uc)=A(a×b)+(a×c) (2)反对称a×a=0,a×b=-b×a (③)混合积(a×b)c=(b×c)a=(c×ab (④)双重向量积(a×b)×c=(ac)b-(b·c)a (⑤)Jacobi恒等式(a×b)×c+(b×c)×a+(c×a)×b=0
34 第二章 矩阵运算 • 类似地，当 A4 是可逆方阵时，有矩阵乘积分解 A = I A2A −1 4 O I ! A1 − A2A −1 4 A3 O O A4 ! I O A −1 4 A3 I ! . 上式也称为 Schur 公式，T = A1 − A2A −1 4 A3 称为 A4 的 Schur 补．A 是可逆方阵当且仅当 T 是可逆方阵．此时， A −1 = I O −A −1 4 A3 I ! T −1 O O A−1 4 ! I −A2A −1 4 O I ! = T −1 −T −1A2A −1 4 −A −1 4 A3T −1 A −1 4 + A −1 4 A3T −1A2A −1 4 ! . • 当 A1, A4 和 A 都是可逆方阵时，比较以上两个关于 A−1 的表达式，可得 S 和 T 之间的联系 S −1 = A −1 4 + A −1 4 A3T −1A2A −1 4 , T −1 = A −1 1 + A −1 1 A2S −1A3A −1 1 . 例 2.19. 设 n 阶下三角方阵 A = C j i ，其中 C j i = i! j!(i − j)! 是组合数．求 A−1． 解答. 设 M = C j i = 1 0 1 A ! ，其中 0 ⩽ i, j ⩽ n．根据二项式定理， 1 1 + x . . . (1 + x) n = C 0 0 C 0 1 C 1 1 . . . . . . . . . C 0 n C 1 n · · · C n n 1 x . . . x n , 1 x . . . x n = C 0 0 −C 0 1 C 1 1 . . . . . . . . . (−1)nC 0 n (−1)n−1C 1 n · · · C n n 1 1 + x . . . (1 + x) n . 因此，M−1 = 1 0 ∗ A−1 ! = (−1)i−jC j i ，A−1 = (−1)i−jC j i ． 习题 1. 证明定理 2.6, 2.7, 2.8． 2. 证明：F 3 上的向量积运算具有下列性质，其中 a, b, c ∈ F 3，λ, µ ∈ F． (1) 双线性 (λa + µb) × c = λ(a × c) + µ(b × c)，a × (λb + µc) = λ(a × b) + µ(a × c) (2) 反对称 a × a = 0，a × b = −b × a (3) 混合积 (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b (4) 双重向量积 (a × b) × c = (a · c) b − (b · c) a (5) Jacobi 恒等式 (a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b = 0