目录 第一章线性方程组 7 S1.1消元解法 。。。g。。。。8。。,。。。g。。g。。。,。。。。。。。g。。,。。。。。 S12矩阵表示 11 第二章矩阵运算 15 S2.1基本概念 15 82.2分块佰阵 24 s2.3初等方民 。。4。。。。4。。。。。。。。4。。4。。。4。。。4。。。。4。。44。。。。。 S2.4可逆矩阵 31 第三章行列试 37 S3.1行列式的定义， 37 s3.2 Binet..Cauchy公式 2 33 Laplace展开···49 $3.4行列式与几何 54 第四章矩阵的相抵 57 S4.1矩阵的秩与相抵 57 S1.2相抵标准形的应用 ”··。”。。。。。”·4。”。·。”·。”·。。。··”。。。。 第五章矩阵的相似 77 S5.1相似的概念 77 S5.2相似三角化 84 55.3 Jordan标准形 65.4最小多项式 。，。。 94 55.5特征方阵 98 第六章正交方阵 103 S6.1正交方阵 103 6.2正交相似 10g S6.3正交相抵 ··.112 S6,4酉方阵 .116
目录 第一章 线性方程组 7 §1.1 消元解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §1.2 矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 第二章 矩阵运算 15 §2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2 分块矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.3 初等方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §2.4 可逆矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 第三章 行列式 37 §3.1 行列式的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 §3.2 Binet-Cauchy 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.3 Laplace 展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 §3.4 行列式与几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 第四章 矩阵的相抵 57 §4.1 矩阵的秩与相抵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §4.2 相抵标准形的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.3 Smith 标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 第五章 矩阵的相似 77 §5.1 相似的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §5.2 相似三角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §5.3 Jordan 标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 §5.4 最小多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §5.5 特征方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 第六章 正交方阵 103 §6.1 正交方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.2 正交相似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 §6.3 正交相抵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 §6.4 酉方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5
目录 第七章二次型 121 S7.1二次型的化荷 121 S7.2正定方阵 126 S7.3一些例子 ……………130 第八章线性空间 133 S8.1基本概念 .133 S8.2线性相关 58.3向量组的秩 …………………137 到 S8.4基与坐标 88.5交空间与和空间 147 S8.6直和与补空间 ··。。··。。·。。。··。·4。。··。···。··。。·4 .1560 第九章线性变换 155 69.1基本概念 155 S9.2线性映射的运算 .159 S9.3对偶空间 。。。。。。。。。”””。。。，。。”，””。，”。。，。。。，””。。 .162 94核空间与像空间.。··.·····…···。········。······165 S9.5不变子空间.， ·,168 9.6根子空间 9.7循环子空间 17 第十章内积空间 179 S10.1基本概念 。179 S102标准正交基.184 810.3正交变换 ,189 S10.4伴随变换 S105复内积空间.·。 197 S10.6内积的推广 201 附录A多项式 205 8A1一元名项式 205 写A2多元多项式…·… ,215 参考文献 223
6 目录 第七章 二次型 121 §7.1 二次型的化简 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §7.2 正定方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 §7.3 一些例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 第八章 线性空间 133 §8.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 §8.2 线性相关 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 §8.3 向量组的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 §8.4 基与坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 §8.5 交空间与和空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 §8.6 直和与补空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 §8.7 直积与商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 第九章 线性变换 155 §9.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §9.2 线性映射的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 §9.3 对偶空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 §9.4 核空间与像空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 §9.5 不变子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 §9.6 根子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 §9.7 循环子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 第十章 内积空间 179 §10.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 §10.2 标准正交基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 §10.3 正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 §10.4 伴随变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 §10.5 复内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 §10.6 内积的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 附录 A 多项式 205 §A.1 一元多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 §A.2 多元多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 参考文献 223
第一章线性方程组 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组，在科学研究和生产实践等领域中都有着厂 泛的应用.线性方程组求解问题具有非常久远的历史，中国古代数学名著《九章算术》（成书于约公 元前150年)中就记载着线性方程组的消元解法.线性方程组求解问题的研究促进了线性空间、线 性变换以及矩阵理论的建立和发展，构成了线性代数这门数学分支学科的中心内容 本章主要介绍一般的刀元线性方程组 a1n1+a122+…+a1nn=b a211+a222+…+a2nxn=b2 (11) an1t1十am2E2+·十amn工n=bm 的求解方法，其中a11,a12,…,amm,b1,2…,bnm是已知的数，，2，…，n是待求解的变量.特 别，当 =0时，线性方程组(1.)称为齐次线性方程组。 关于线性方程组，有下列几个基本问题。在本章以及后续的章节中，将从不同的角度来研究这 些问题. 1.解的存在性问题.线性方程组(11)是否有解？ 2.解的唯一性问题.线性方程组(1.1)是否有唯一解？ 3.解集的结构问题.线性方程组(11)的解集有何性质？ 在本书中，数指的是某个数域中的元素。数域F是一个定义了加、减、乘、除运算，并且满足 特定运算律的非空集合，详见定义8.2.若存在素数p使得工+…+芝=0，z∈F,则p称为四 的特征，记作Char F=p.香则，规定CharF=0.例如，无限域C,R,Q的特征为0，g元有限域 Fg的特征为p,其中q是素数p的方幂. s1.1消元解法 求解代数方程组的基本思想是“消元法”：由原方程不断产生新方程，并且不断减少每个新方 程所包含未知数的个数，直到求出一个未知数：然后如法炮制求出其它未知数。在求解过程中有可 能得到“增根”，因此还需要把所求得的“可能解”代入原方程组进行检验，这样才能得到方程组的 真正解。对于非线性方程组，很难做到不产生“增根”.然而对于线性方程组，可以进行如下的同解 变形，以避免“验根”所带来的额外运算
第一章 线性方程组 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组，在科学研究和生产实践等领域中都有着广 泛的应用．线性方程组求解问题具有非常久远的历史，中国古代数学名著《九章算术》（成书于约公 元前 150 年）中就记载着线性方程组的消元解法．线性方程组求解问题的研究促进了线性空间、线 性变换以及矩阵理论的建立和发展，构成了线性代数这门数学分支学科的中心内容． 本章主要介绍一般的 n 元线性方程组 a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (1.1) 的求解方法，其中 a11, a12, · · · , amn, b1, b2 · · · , bm 是已知的数，x1, x2, · · · , xn 是待求解的变量．特 别，当 b1 = b2 = · · · = bm = 0 时，线性方程组 (1.1) 称为齐次线性方程组． 关于线性方程组，有下列几个基本问题．在本章以及后续的章节中，将从不同的角度来研究这 些问题． 1. 解的存在性问题．线性方程组 (1.1) 是否有解？ 2. 解的唯一性问题．线性方程组 (1.1) 是否有唯一解？ 3. 解集的结构问题．线性方程组 (1.1) 的解集有何性质？ 在本书中，数指的是某个数域中的元素．数域 F 是一个定义了加、减、乘、除运算，并且满足 特定运算律的非空集合．详见定义 8.2．若存在素数 p 使得 x + · · · + x | {z } p 个 = 0，∀x ∈ F，则 p 称为 F 的特征，记作 Char F = p．否则，规定 Char F = 0．例如，无限域 C, R, Q 的特征为 0，q 元有限域 Fq 的特征为 p，其中 q 是素数 p 的方幂． §1.1 消元解法 求解代数方程组的基本思想是“消元法”：由原方程不断产生新方程，并且不断减少每个新方 程所包含未知数的个数，直到求出一个未知数；然后如法炮制求出其它未知数．在求解过程中有可 能得到“增根”，因此还需要把所求得的“可能解”代入原方程组进行检验，这样才能得到方程组的 真正解．对于非线性方程组，很难做到不产生“增根”．然而对于线性方程组，可以进行如下的同解 变形，以避免“验根”所带来的额外运算． 7
第一章钱性方程组 例1.1.求解线性方程组 2-=-1 x1-2x2=-4 3x1-2x2+x4=-7 ③ 3m1+2+x3+3x4=0回 解答.④-③，得 3r2+x+2m4=7 方程组0，②，③，⊙的解一定满足方程组0.②，③，⑤.反之，④=③+⑤，方程组0，@，③，⑥的解 定满足方程组0，@，③，Q.因此，方程组①，@，③，④与方程组①，@，③，⑥的解集相同. 同理，③-3×②，得同解方程组，②⑥，⑤，其中 4r2+r4=5 ⑥-3×①，得同解方程组0，@，©，⊙，其中 43+24=10 ©-4×①，得同解方程组0，②，⊙，⊙，其中 43+x4=9 ⊙-®，得同解方程组①，②，®，@，其中 E=1 把4代入⊙，得到3=2.把xa代入①，得到2=1.把2代入回，得到1=-2. ◇ 全思考：把已解出的未知数代入某个方程求得其它未知数的过程是否有可能产生“增根？ 定理11.对于线性方程组的下列操作不改变线性方程组的解 1.交换某两个方程在线性方程组中的位置，其它方程不变 县.把某个方程替换成它的非零常数倍，其它方程不变。 3.把某个方程替换成它与另一方程的常数倍之和，其它方程不变. 其中方程a1十a22十…十ann=b的常数入倍定义为 (Aa)m+(a2)2+…+(Aan)zn=(b) 两个方程a11+22+…+anxn=b与a(x1+a2十…十anxn=b之和定义为 (a1+4)1+(a2+a)z2+…+(an+)zn=(b+) 定义1.1.以上三类操作，称为对于线性方程组的初等变换
8 第一章 线性方程组 例 1.1. 求解线性方程组 x2 − x3 = −1 ⃝1 x1 − 2x2 = −4 ⃝2 3x1 − 2x2 + x4 = −7 ⃝3 3x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0 ⃝4 解答. ⃝4 − ⃝3 ，得 3x2 + x3 + 2x4 = 7 ⃝5 方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 的解一定满足方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 ．反之，⃝4 = ⃝3 + ⃝5 ，方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 的解一 定满足方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 ．因此，方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝4 与方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝3 ,⃝5 的解集相同． 同理，⃝3 − 3 × ⃝2 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝6 ,⃝5 ，其中 4x2 + x4 = 5 ⃝6 ⃝5 − 3 × ⃝1 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝6 ,⃝7 ，其中 4x3 + 2x4 = 10 ⃝7 ⃝6 − 4 × ⃝1 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝8 ,⃝7 ，其中 4x3 + x4 = 9 ⃝8 ⃝7 − ⃝8 ，得同解方程组⃝1 ,⃝2 ,⃝8 ,⃝9 ，其中 x4 = 1 ⃝9 把 x4 代入⃝8 ，得到 x3 = 2．把 x3 代入⃝1 ，得到 x2 = 1．把 x2 代入⃝2 ，得到 x1 = −2． 思考：把已解出的未知数代入某个方程求得其它未知数的过程是否有可能产生“增根”？ 定理 1.1. 对于线性方程组的下列操作不改变线性方程组的解． 1. 交换某两个方程在线性方程组中的位置，其它方程不变． 2. 把某个方程替换成它的非零常数倍，其它方程不变． 3. 把某个方程替换成它与另一方程的常数倍之和，其它方程不变． 其中方程 a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b 的常数 λ 倍定义为 (λa1)x1 + (λa2)x2 + · · · + (λan)xn = (λb). 两个方程 a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b 与 a ′ 1x1 + a ′ 2x2 + · · · + a ′ nxn = b ′ 之和定义为 (a1 + a ′ 1 )x1 + (a2 + a ′ 2 )x2 + · · · + (an + a ′ n )xn = (b + b ′ ). 定义 1.1. 以上三类操作，称为对于线性方程组的初等变换．
S1.1消元解法 通过第（③）类初等变换，我们可以消去两个方程所包含的公共未知数.例如，假设第一个方程 含有1，即1≠0，则第一个方程的一1倍与第i个方程之和不含，从而可以得到m-1个 不含1的方程：待由这m-1个方程求得2，·，工n之后，代回第一个方程，解得1.当a1=0 时，某个方程含有x1,第(1)类初等变换可以把方程组化为11≠0情形.第(2)类初等变换则可 以把a11≠0情形化为a1=1情形 例1.1中的同解变形消元过程可以表示为如下初等变换。 酒去 酒去 ③ 】⊙=③-3×@ (@ (⑤-0-⑧ ② (@ =-4×① 0=©-3×① ⑨=0- 定理1.2.线性方程组(11)可以通过一系列初等变换，化为如下阶梯形的线性方程组. ain Tp1+…+dnxn=所 0rn,n+…+dn工n= (1.2) 0=其+1 0=6m 其中0≤r≤min(m,n,1≤pm<2<…<r≤n并且a吃p,…ap.≠0. 证明.对m使用数学归纳法.当m=1时，结论显然成立.当m≥2时，设p是最小的正整数使 得存在即≠0.不妨设1=1，否则交换第i个方程与第1个方程的位置.通过第)类初等变换 利用第1个方程，可以把第2.·，m个方程中x1,·,xm的系数都变成0.对这m一1个方程应 用归纳假设，可以通过一系列初等变换，化为阶梯形的线性方程组.添上第1个方程，仍然是阶梯 形的线性方程组。 定理1.3. 1.钱性方程组(11)有解的充分必要条件是+1=…=m=0 2.线性方程组(1.1)有唯一解的充分必要条件是r=n且1=…=n=0. 证明.把线性方程组(11)变成(12)的初等变换操作不改变方程祖的解
§1.1 消元解法 9 通过第 (3) 类初等变换，我们可以消去两个方程所包含的公共未知数．例如，假设第一个方程 含有 x1，即 a11 6= 0，则第一个方程的 − ai1 a11 倍与第 i 个方程之和不含 x1，从而可以得到 m − 1 个 不含 x1 的方程；待由这 m − 1 个方程求得 x2, · · · , xn 之后，代回第一个方程，解得 x1．当 a11 = 0 时，某个方程含有 x1，第 (1) 类初等变换可以把方程组化为 a11 6= 0 情形．第 (2) 类初等变换则可 以把 a11 6= 0 情形化为 a11 = 1 情形． 例 1.1 中的同解变形消元过程可以表示为如下初等变换． ⃝1 ⃝2 ⃝3 ⃝4 换行 −−→ ⃝2 ⃝1 ⃝3 ⃝4 消去 x1 −−−−→ ⃝2 ⃝1 ⃝3 ⃝5 = ⃝4 − ⃝3 消去 x1 −−−−→ ⃝2 ⃝1 ⃝6 = ⃝3 − 3 × ⃝2 ⃝5 消去 x2 −−−−→ ⃝2 ⃝1 ⃝6 ⃝7 = ⃝5 − 3 × ⃝1 消去 x2 −−−−→ ⃝2 ⃝1 ⃝8 = ⃝6 − 4 × ⃝1 ⃝7 消去 x3 −−−−→ ⃝2 ⃝1 ⃝8 ⃝9 = ⃝7 − ⃝8 定理 1.2. 线性方程组 (1.1) 可以通过一系列初等变换，化为如下阶梯形的线性方程组． a ′ 1p1 xp1 + · · · · · · · · · · · · · · · · · · + a ′ 1nxn = b ′ 1 a ′ 2p2 xp2 + · · · · · · · · · · · · + a ′ 2nxn = b ′ 2 · · · · · · · · · a ′ rpr xpr + · · · + a ′ rnxn = b ′ r 0 = b ′ r+1 . . . 0 = b ′ m (1.2) 其中 0 ⩽ r ⩽ min(m, n)，1 ⩽ p1 < p2 < · · · < pr ⩽ n 并且 a ′ 1p1 a ′ 2p2 · · · a ′ rpr 6= 0． 证明. 对 m 使用数学归纳法．当 m = 1 时，结论显然成立．当 m ⩾ 2 时，设 p 是最小的正整数使 得存在 aip 6= 0．不妨设 i = 1，否则交换第 i 个方程与第 1 个方程的位置．通过第 (3) 类初等变换， 利用第 1 个方程，可以把第 2, · · · , m 个方程中 x1, · · · , xp 的系数都变成 0．对这 m − 1 个方程应 用归纳假设，可以通过一系列初等变换，化为阶梯形的线性方程组．添上第 1 个方程，仍然是阶梯 形的线性方程组． 定理 1.3. 1. 线性方程组 (1.1) 有解的充分必要条件是 b ′ r+1 = · · · = b ′ m = 0． 2. 线性方程组 (1.1) 有唯一解的充分必要条件是 r = n 且 b ′ r+1 = · · · = b ′ m = 0． 证明. 把线性方程组 (1.1) 变成 (1.2) 的初等变换操作不改变方程祖的解．