《数学分析》课程教学资源（学习笔记）数学分析A3课堂笔记.pdf

数学分析A3 课堂笔记原生生物目录历史回顾 2 † 微积分伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伲 † 实数与连续性伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伲一数项级数 3 † 正项级数伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伳 † 任意项级数伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伴二函数项级数 4 † 重要问题伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伴 † 一致收敛判据伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伵 † 幂级数伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伵 † 特殊例子伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伶三傅里叶分析 6 † 定义与计算伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伶 † 敛散性判别伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伷 † 傅里叶变换伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伷四含参变量积分 8 † 反常积分的一致收敛伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伸 † 重要问题伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伸 † 伀函数与佂函数伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伮伹伱

目录历史回顾十微积分在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数：三类初等函数微积分的历史： 1.多项式函数牛顿将函数（事实上此处应为初等函数）视为幕级数展开f)=∑4r”,又引入二项式定理计算出x”的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法Calculus)(如(af+bg=af'+bg,(UgY= 'g+∫g,∫(g(x)Y=∫g(x)g(x),其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用)。 *此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。 2.三角函数欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号（重要极限：血=1） *和角公式sin(a+)=sina cos+cos a sin等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。 3.对数函数、指数函数对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减(log(a1a2)=log(a1)+log(a2)。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。为获取中间的值，需要编制对数表。 1617年，英国人Briggs编制了首张对数表（做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小数次方)。 *计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过(x+△x)2≈x2+2x△x计算。另一个重要极限：+，化为计算(+)极限，由此出发定义自然底数，进而得出对数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。费马：极值点导数若存在，必然为0，新问题：函数是否存在极值？（涉及连续性理论与实数）牛顿莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。十实数与连续性正整数的构造-表达整数（十进制）九章算术前负整数的构造刘澈之前加入零公元7世纪 *加法与乘法满足基本运算律（交换、结合、分配等）分数的构造·？，)的等价类将单位变小，仍可满足基本规则实数的构造·任意小数（单位无穷减小） *事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则 *实数可具有全序关系实数的完备性（拓扑概念）：任一柯西列(an,e>0,3N,n,m>N,la-am<e)必有极限

目录伲历史回顾 † 微积分在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数。三类初等函数微积分的历史：伱伮多项式函数牛顿将函数伨事实上此处应为初等函数伩视为幂级数展开f伨x伩伽 X∞ n=0 anx n，又引入二项式定理计算出x n的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法伨佃佡佬佣併佬併佳伩伨如伨af 伫 bg伩 ′ 伽 af′ 伫 bg′ ,伨fg伩 ′ 伽 f ′ g 伫 fg′ , f伨g伨x伩伩′ 伽 f ′ g伨x伩g ′ 伨x伩，其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用伩。伪此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。伲伮三角函数欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号伨重要极限：佬佩佭x→0 佳佩佮 x x 伽伱伩。伪和角公式佳佩佮伨α 伫 β伩伽佳佩佮 α 佣佯佳 β 伫佣佯佳 α 佳佩佮 β等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。伳伮对数函数、指数函数对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减伨佬佯佧伨a1a2伩伽佬佯佧伨a1伩伫佬佯佧伨a2伩伩。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。为获取中间的值，需要编制对数表。伱伶伱伷年，英国人Briggs编制了首张对数表伨做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小数次方伩。伪计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过伨x 伫企x伩 2 ≈ x 2 伫伲x企x计算。另一个重要极限：佬佩佭x→0 佬佯佧伨伱伫 t伩 t ，化为计算伱伫伱 t t 极限，由此出发定义自然底数e，进而得出对数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。费马：极值点导数若存在，必然为估，新问题：函数是否存在极值？伨涉及连续性理论与实数伩牛顿-莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。 † 实数与连续性正整数的构造伭表达整数伨十进制伩九章算术前负整数的构造刘徽之前加入零公元伷世纪伪加法与乘法满足基本运算律伨交换、结合、分配等伩分数的构造伭伨p, q伩的等价类将单位变小，仍可满足基本规则实数的构造伭任意小数伨单位无穷减小伩伪事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则伪实数可具有全序关系实数的完备性伨拓扑概念伩：任一柯西列伨{an}, ∀ε > 估, ∃N, ∀n, m > N, |an − am| < ε伩必有极限

一数项级数 3 (证明：回顾实数完备性的六个等价定理) *实数的其他构造方式：Dedekind分割、柯西列等价类等（注意回到原始定义证明的重要性）由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等（回项A2中相关的点集拓扑基础）上的开集是可数个不交开区间的并（证明：对任何a∈E,考虑inft<a,(，a)CE与supt>a,(a,)C E即可) 连续函数等价定义：任意开集的原象是开集（可转化为：一语言，回顾连续等价条件》连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理（回顾连续相关性质）数项级数本质与数列等价（级数的部分和数列）由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为0：级数增减有限多项不影响敛散性。重要问题：判别敛散（判别法综合运用）十正项级数 1.积分判别法原理：比较面积可证明，单调下降且极限为0的函数，∑f与厂广f山同敛散。会nPs收敛的条件为柳<询-1<1（利用为比任何商阶的无穷大， 2.比较判别法原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛：若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛散。判别法化为极限形式：回忆Al,利用imsupa:=imsp{an},可将“存在无穷多个”与“至多有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。 3.柯西判别法原理：与等比数列比较，考虑an与1的大小关系。 :收敛的条件为-1≤工<1（西判别法处理☑非负时情况，为负时须后续知 4.达朗贝尔判别法原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与1的大小关系。例：三后必然收敛（此时用此判别法可规避斯特林公式。与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用 5.拉贝判别法原理：与，己比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 6.△高斯判别法原理：与山比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况

一数项级数伳伨证明：回顾实数完备性的六个等价定理伩伪实数的其他构造方式：佄佥佤佥佫佩佮佤分割、柯西列等价类等伨注意回到原始定义证明的重要性伩由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等伨回顾佁伲中相关的点集拓扑基础伩伪R上的开集是可数个不交开区间的并伨证明：对任何a ∈ E，考虑佩佮佦 t t < a,伨t, a伩 ⊂ E与佳併佰 t t > a,伨a, t伩 ⊂ E即可伩连续函数等价定义：任意开集的原象是开集伨可转化为ε − δ语言，回顾连续等价条件伩连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理伨回顾连续相关性质伩一数项级数本质与数列等价伨级数的部分和数列伩由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为估；级数增减有限多项不影响敛散性。重要问题：判别敛散伨判别法综合运用伩。 † 正项级数伱伮积分判别法原理：比较面积可证明，单调下降且极限为估的函数f伨x伩， X∞ n=1 f伨n伩与 Z ∞ 1 f伨x伩佤x同敛散。例： X∞ i=1 伱 n伨佬佮 n伩 p伨佬佮佬佮 n伩 q 收敛的条件为p < 伱或p 伽伱, q < 伱伨利用n为比任何伨佬佮 n伩 α高阶的无穷大伩。伲伮比较判别法原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛；若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛散。判别法化为极限形式：回忆佁伱，利用佬佩佭佳併佰 n→∞ an 伽佬佩佭n→∞ 佳併佰 m≥n {am}，可将“存在无穷多个”与“至多有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。伳伮柯西判别法原理：与等比数列比较，考虑 √n an与伱的大小关系。例： X∞ n=1 x n n 收敛的条件为−伱 ≤ x < 伱伨柯西判别法处理x非负时情况，为负时须后续知识伩。伴伮达朗贝尔判别法原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与伱的大小关系。例： X∞ n=1 x n n伡必然收敛伨此时用此判别法可规避斯特林公式伩。与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用。伵伮拉贝判别法原理：与伱 nσ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。伶伮 △高斯判别法原理：与伱 n伨佬佮 n伩 σ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况

二函数项级数伴 † 任意项级数伪由数项级数而定义：收敛、发散点集伱伮柯西收敛准则原理：直接对部分和数列利用柯西收敛准则即得结果，是任意项级数收敛的充分必要条件。例：若某级数所有项取绝对值后得到的正项级数收敛，则此级数必然收敛伨此时称此级数绝对收敛伩；反之，若级数收敛但取绝对值得到的级数不收敛伨如伨−伱伩n 伱 n 伩，则称此级数条件收敛。伲伮莱布尼茨判别法原理：类似积分判别的证明方式，估算交错级数部分和不同子列。伳伮迪利克雷判别法证明：利用分部求和公式改写和式，从而放缩知收敛。作用：考虑乘积是否收敛时可拆分判定。例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n ，x 伽估时发散，否则令an 伽佣佯佳 nx, bn 伽伱 n ，可计算出 X k n=1 an 伽佣佯佳 k+1 2 x 佳佩佮 k 2 x 伲佳佩佮 x 2 有界，因此原级数收敛。伴伮阿贝尔判别法原理：变形， Xn k=1 akbk 伽 Xn k=1 ak伨bk − b伩伫 b Xn k=1 ak。与迪利克雷判别法关系：互有强弱，根据具体情况运用。黎曼定理：条件收敛的特殊性质，安排顺序收敛到任意目标。证明：取出其中的正项与负项，由条件知正项与负项的和均发散，从而可安排顺序构造出结果。 △其他内容：绝对收敛可交换次序、级数相乘、无穷乘积伨取佬佮后化为求和，利用与伱差距计算伩二函数项级数 † 重要问题若函数S(x伩为函数Sn伨x伩极限伨可看作函数项级数 X∞ n=1 un伨x伩伩：伨由此出发须定义一致收敛伩伱伮 Sn伨x伩连续，极限是否连续？反例：Sn伨x伩伽 x n , x ∈ 佛估, 伱佝加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。证明：由定义估算。伲伮 Sn伨x伩可积，积分是否可与求和交换？反例：Sn伨x伩伽伲n 2x佥 −n 2x 2 , x ∈ 伨估, 伱伩加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。证明：利用保连续，由不连续点零测集可数并零测可证明。另一种“加条件”做法：黎曼可积拓展为勒贝格可积

二函数项级数伵伳伮 Sn伨x伩可导且导数连续，求导是否可与求和交换？反例：Sn伨x伩伽佳佩佮 nx √ x , x ∈ R 加条件：S ′ n 伨x伩一致收敛，且Sn伨x伩至少某一点收敛，则成立。证明：利用保积分，使用牛顿伭莱布尼茨公式证明。 † 一致收敛判据伱伮柯西判别法原理：类似柯西准则，为充要条件。伲伮 △已知收敛结果f时，fn在I上一致收敛等价于佬佩佭n→∞ 佳併佰 x∈I |fn伨x伩 − f伨x伩| 伽估。证明：利用柯西准则。伳伮魏尔斯特拉斯判别法原理：利用柯西判别法，与数列比较。伴伮迪利克雷判别法原理：类似数列的迪利克雷判别法，注意利用一致有界条件。例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n , x ∈ 佛δ, 伲π − δ佝伨估 < δ < π伩类似数列时利用迪利克雷判别法可判定一致收敛。伵伮阿贝尔判别法原理：类似数列的阿贝尔判别法伨注意此时无法由迪利克雷判别法直接推得伩。伶伮佄佩佮佩定理原理：类似证明闭集连续函数闭一致连续，利用有限覆盖，可控制全区间大小。伪证明一致收敛技巧：分段估计伨若在两段均一致收敛则并集仍一致收敛伩、注意两个充要条件例： X∞ n=1 伨伱 − x伩 x n 伱 − x 2n 佳佩佮伨nx伩一致收敛，通过拆分为佛估, a佝伨此段可放大为a n 伩与佛a, 伱佝伨此段佳佩佮伨nx伩一致有界伩两段可以说明。伪证明不一致收敛技巧：从原始定义出发、考虑边界处、利用柯西准则找反例例：考虑 X∞ n=1 佳佩佮伨nx伩 n 。对任何N，可以取x 伽伱 N 伫伱，第N 伫伱项到第伲N项均大于佳佩佮伱伲N ，因此和大于佳佩佮伱伲，由定义知其不一致收敛。 † 幂级数伨复变函数中有重要推广伩考虑 X∞ n=0 anx n，利用柯西判别知|x| < R 伽伨佬佩佭佳併佰 n→∞ pn |an|伩 −1时收敛，大于则发散伨等于时无法确定伩。伪定义满足这样条件的R为级数的收敛半径伨复变函数中成为圆伩。伪对任何估 < r < R， X∞ n=0 anx n在佛−r, r佝上一致收敛伨内闭一致收敛伩。证明：将x放大为r，利用魏尔斯特拉斯判别法。由此其满足之前所述的保求和、保导数、保积分等性质。例：佬佮伨x 伫伱伩伽 Z x 0 伱 t 伫伱佤t 伽 Z x 0 X∞ n=0 伨−伱伩n t n佤t 伽 X∞ n=1 伨−伱伩n−1 x n n