《微分几何》课程教学资源（学习笔记）微分几何H课堂笔记.pdf

微分几何H 笔记原生生物耪刘世平老师微分几何聈课堂笔记目录一曲线的几何 2 §耱耮耱欧氏空间耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲 §耱耮耲微分形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳 §耱耮耳平面曲线耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴 §耱耮耴空间曲线耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耶二曲面的几何 7 §耲耮耱第一基本形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耸 §耲耮耲第二基本形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耹 §耲耮耳平均曲率、局部外蕴几何耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耱 §耲耮耴特殊曲面耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耲三标架与曲面论基本定理 14 §耳耮耱活动标架与运动方程耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耴 §耳耮耲曲面结构方程耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耵 §耳耮耳正交活动标架耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耶 §耳耮耴曲面上的微分形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耸四曲面的内蕴几何 20 §耴耮耱测地线与协变导数耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耰 §耴耮耲平行移动耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耱 §耴耮耳局部聇聡聵聳聳耭聂聯聮聮聥聴公式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耳 §耴耮耴整体聇聡聵聳聳耭聂聯聮聮聥聴公式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耵五几个重要定理 26 耱

一曲线的几何耲一曲线的几何 §1.1 欧氏空间最早认识三维欧氏空间E3 耨点、线、面、欧氏几何公理耩向量：空间中有长度、方向的量耪欧氏空间齐次性耨不同原点无区别耩、各向同性耨不同方向无区别耩，因此向量不区分起点，由此可定义向量运算耱耮加法耨交换、结合、零元、逆元耩耲耮数乘耨结合、分配加法、单位耩耪抽象出R上的向量空间结构耳耮内积hv1, v2i耨余弦定理、交换、双线性耩耴耮外积v1 ∧ v2聛平行四边形有向面积聝耨反交换、双线性耩引入坐标：任取欧氏空间原点O，三个线性无关向量v1, v2, v3，则{O耻 v1, v2, v3}为E3以O为原点的一个一般标架耪由此欧氏空间E3与三维数组空间R 3对应为保证内积结构，需要hvi , vj i 耽 δ j i ，此时即称为正交标架，所有运算可通过坐标表示耪混合积耨v1, v2, v3耩耽 hv1, v2 ∧ v3i，代表张成平行六面体的有向体积 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 3 x 2 3 x 3 3 运算性质：耱耮 v1 ∧ 耨v2 ∧ v3耩耽 hv1, v3i v2 − hv1, v2i v3 耲耮 hv1 ∧ v2, v3 ∧ v4i 耽 hv1, v3i hv2, v4i − hv1, v4i hv2, v3i 耳耮耨v1, v2, v3耩耽耨v2, v3, v1耩耽耨v3, v1, v2耩耪坐标坏处：不同点不同方向标架未必一致坐标变换：若   e 0 1 e 0 2 e 0 3   耽 T   e1 e2 e3   聛T为正交阵，行列式耱代表两标架定向相同，否则相反聝，则{O耻 e1, e2, e3}下的坐标与{O0 耻 e 0 1 , e0 2 , e0 3}下的坐标耨y 1 , y2 , y3 耩关系为耨x 1 , x2 , x3 耩耽耨c 1 , c2 , c3 耩耫耨y 1 , y2 , y3 耩T。耪保持欧氏空间结构耨度量耩的变换称合同变换定理 1.1. T 为E3的合同变换，则存在T ∈ O3耨R耩与P ∈ E3使得∀X ∈ E3 , T 耨X耩耽 XT 耫 P。证明. 由平移不妨设保原点，通过保距离由余弦定理可推出保内积，由坐标定义可推出线性，从而得结果。耪欧氏空间中正交标架全体与合同变换群一一对应对向量值函数~a耨t耩耽耨a1耨t耩, a2耨t耩, a3耨t耩耩，有微分性质：耱耮 d dt 耨λ~a耩耽 dλ dt ~a 耫 λ d~a dt

曲线的几何 2.是(a,0=(照，0+(a,) 3.击aAi=A6+aA盟 4.品(a,6,可=(6，司+(a,票，司+(a,6) 定理1.2.光滑向量值函数)长度不支一(@()，()》=0。证明.(@)，a)》恒定←→是〈@)，()》=0，由此得结论 ◇ 练习.设()为光滑非零向量值函数，则 1.方向不变→()A()=0: 2.若a()与某因定方向垂直，那么(@()，()，a”()=0:反之，若(t),a(),a"()=0且处处因A )≠0，则)与某固定方向垂直。证明.假设a为每问里提到的特殊方向： 1.左推右：由于aA()=0,对求导即有aA()=0,从而()方向与()相同，即得证右推左：设()=f)a(),其中a为单位向量，则计算知a()Aa()=f()a()Aa),由条件f≠0，因此a()Aa=0，由a()模长不变可知(a(),a()=0,由a()为单位向量可知必须a()=0,从而得证。 2.第一句：通过对(@)，a求导可知(@()，a)=0,同理("（④），a)=0,于是三者共面，原命题得证。第二句：设a)=ft)a(),其中a为单位向量，计算知(@(t),(),a"()=f(t)(a(),a(t),a"(): 由条件f)≠0得(a(),a(),a"()=0,有(a(),a()Aa"(》=0,结合条件知a”()Aa()=0, 由此计算可得(a()Aa()A(a(Aa)y=(a(Aa)A(a(Aa"()=0,利用1知a(Aa)方向恒定，因此()与某固定方向垂直。 ◇ S1.2微分形式定义1.3.切向量切向量，包含一个向量与起点，而向量场是给每一个点赋一个切向量，的函数性质：设u1m)=(1,0,0p,2(p)=(0,1,0p,()=(0,0,1)p,则任何向量场每点都可以表示为u1,2,组合。定义14.3上的一形式、光滑一形式 E3一形式o是定义在E3所有切向量上的函数，使得对任意a,b∈R,p∈E3,U,心∈TE(仰以p为起点的切向量)，有d(au+bw)=a(u)+b(w)。给定一形式与向量场V,有实函数(W):E3→R,(V))=(Vp,若对任何光滑向量场V都有(V)是光滑画数，则称为光滑一形式。运算：给定一形式0，，∫：E3→R,则(o+中)(u)=()+(),()(e)=fp)() 关于函数的线性性质：V,W为切向量场，人，g为空间函数，则(fV+gW)=fo(V)+9(W)。给定空间光滑函数∫，可定义一形式d,满足df(,)=品lofp+t,),由于其即为(grad∫，p》,因此良定。对投影函数x:E3→R,计算发现有dr（,)=

一曲线的几何耳耲耮 d dt ~a,~b 耽 d~a dt , ~b 耫 ~a, d~b dt 耳耮 d dt ~a ∧~b 耽 d~a dt ∧~b 耫 ~a ∧ d~b dt 耴耮 d dt ~a,~b, ~c 耽 d~a dt , ~b, ~c 耫 ~a, d~b dt , ~c 耫 ~a,~b, d~c dt 定理 1.2. 光滑向量值函数~a耨t耩长度不变⇐⇒ h~a耨t耩, ~a0 耨t耩i 耽耰。证明. h~a耨t耩, ~a耨t耩i恒定⇐⇒ d dt h~a耨t耩, ~a0 耨t耩i 耽耰，由此得结论。练习. 设~a耨t耩为光滑非零向量值函数，则 1. 方向不变⇐⇒ ~a0 耨t耩 ∧~a耨t耩耽耰； 2. 若~a耨t耩与某固定方向垂直，那么耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽耰；反之，若耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽耰且处处~a0 耨t耩 ∧ ~a耨t耩 6耽耰，则~a耨t耩与某固定方向垂直。证明. 假设α为每问里提到的特殊方向：耱耮左推右：由于α ∧~a耨t耩耽耰，对t求导即有α ∧~a0 耨t耩耽耰，从而~a0 耨t耩方向与~a耨t耩相同，即得证。右推左：设~a耨t耩耽 f耨t耩α耨t耩，其中α为单位向量，则计算知~a耨t耩 ∧ ~a0 耨t耩耽 f 2 耨t耩α耨t耩 ∧ α 0 耨t耩，由条件f耨t耩 6耽耰，因此α耨t耩 ∧ α 0 耨t耩耽耰，由α耨t耩模长不变可知hα耨t耩, α0 耨t耩i 耽耰，由α耨t耩为单位向量可知必须α 0 耨t耩耽耰，从而得证。耲耮第一句：通过对h~a耨t耩, αi求导可知h~a0 耨t耩, αi 耽耰，同理h~a00耨t耩, αi 耽耰，于是三者共面，原命题得证。第二句：设~a耨t耩耽 f耨t耩α耨t耩，其中α为单位向量，计算知耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽 f 3 耨t耩耨α耨t耩, α0 耨t耩, α00耨t耩耩，由条件f耨t耩 6耽耰得耨α耨t耩, α0 耨t耩, α00耨t耩耩耽耰，有hα 0 耨t耩, α耨t耩 ∧ α 00耨t耩i 耽耰，结合条件知α 00耨t耩 ∧ α耨t耩耽耰，由此计算可得耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩∧耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩0 耽耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩∧耨α耨t耩∧α 00耨t耩耩耽耰，利用耱知α耨t耩∧α 0 耨t耩方向恒定，因此α耨t耩与某固定方向垂直。 §1.2 微分形式定义 1.3. 切向量切向量vp包含一个向量v与起点p，而向量场是给每一个点p赋一个切向量vp的函数。性质：设u1耨p耩耽耨耱, 耰, 耰耩p, u2耨p耩耽耨耰, 耱, 耰耩p, u3耨p耩耽耨耰, 耰, 耱耩p，则任何向量场每点都可以表示为u1, u2, u3组合。定义 1.4. E3上的一形式、光滑一形式 E3一形式φ是定义在E3所有切向量上的函数，使得对任意a, b ∈ R, p ∈ E3 , v, w ∈ TpE3 (即以p为起点的切向量)，有φ耨av 耫 bw耩耽 aφ耨v耩耫 bφ耨w耩。给定一形式与向量场V ，有实函数φ耨V 耩耺 E3 → R, φ耨V 耩耨p耩耽 φ耨V 耨p耩耩，若对任何光滑向量场V 都有φ耨V 耩是光滑函数，则称φ为光滑一形式。运算：给定一形式φ, ψ，f 耺 E3 → R，则耨φ 耫 ψ耩耨v耩耽 φ耨v耩耫 ψ耨v耩，耨fφ耩耨vp耩耽 f耨p耩φ耨vp耩。关于函数的线性性质：V, W为切向量场，f, g为空间函数，则φ耨fV 耫 gW耩耽 fφ耨V 耩耫 gφ耨W耩。给定空间光滑函数f，可定义一形式聤f，满足聤f耨vp耩耽 d dt |t→0f耨p 耫 tvp耩，由于其即为h聧聲聡聤 f, vpi，因此良定。对投影函数x i 耺 E3 → R，计算发现有聤x i 耨vp耩耽 v i p

一曲线的几何耴性质：E3上一形式可表示为φ 耽 P3 i=1 fi聤xi，其中fi 耽 φ耨ui耩。验证：φ耨vp耩耽 φ耨 Pv i pui耩耽 Pv i pφ耨ui耩耨p耩耽 Pfiv i p 耽 Pfi聤xi耨vp耩。定义 1.5. E3上的二形式 E3上的二形式η是E3上所有切向量对耨vp, wp耩，或写成vp ∧ wp上的实值函数，使得在任何p处满足双线性性、反对称性η耨vp, wp耩耽 −η耨wp, vp耩。若对任何光滑向量场V, W满足η耨V, W耩是光滑函数，则称其为光滑二形式。例：E3中，令聤x i ∧ 聤x j 耽聤x i ⊗ 聤x j − 聤x j ⊗ 聤x i，即耨vp, wp耩 → v i pw j p − v j pw i p，则其为一个二形式。性质：E3上二形式可表示为η 耽 P i<j η耨ui , uj 耩聤x i ∧ 聤x j，可与一形式的情况类似拆分验证。几何意义：聤x i ∧ 聤x j 耨vp, wp耩耽 v i p v j p w i p w j p ，代表E3中两切向量构成的平行四边形向坐标平面投影的面积。定义 1.6. E3上的三形式 E3上的三形式ψ是E3上所有耨vp, wp, up耩上的实值函数，使得在任何p处满足三重线性性、交换反对称性(交换任意两个都导致符号变化)。若对任何光滑向量场V, W, U满足ψ耨V, W, U耩是光滑函数，则称其为光滑三形式。聤x 1 ∧ 聤x 2 ∧ 聤x 3 耽 P σ∈S(3) 聳聧聮耨σ耩聤x 1 ⊗ 聤x 2 ⊗ 聤x 3 耽聤聥聴 vp up wp ，即有向体积。耪E3上不存在非平凡的四形式；再扩充定义零形式，代表函数。耪记耊i代表E3上光滑的i耭形式定义 1.7. 外微分运算聤 ∀f ∈ 耊0, 聤f 耽 X ∂f ∂xi 聤x i ∀φ 耽 Xφ耨ui耩聤x i ∈ 耊1, 聤φ 耽 X聤耨φ耨ui耩耩 ∧ 聤x i 耽 X i,j ∂φ耨ui耩 ∂xj 聤x i ∧ 聤x j ∀η 耽 X i<j η耨ui , uj 耩聤x i ∧ 聤x j , 聤η 耽 X i<j 聤耨η耨ui , uj 耩耩 ∧ 聤x i ∧ 聤x j 耽 ψ聤x 1 ∧ 聤x 2 ∧ 聤x 3 耪性质：由于对不同分量求偏导可交换，可计算得聤 ◦ 聤耽耰耪聤耊0的系数与聧聲聡聤对应，聤耊1的系数与聲聯聴对应，聤耊2的系数与聤聩聶对应，有聲聯聴聧聲聡聤 f 耽耰, 聤聩聶聲聯聴 F 耽耰。 §1.3 平面曲线耪研究怎样的曲线？定义 1.8. 正则曲线耨a, b耩 → E3 耺 t → γ耨t耩称为正则曲线，当其每个分量光滑且|γ 0 耨t耩| 耽 p x 0耨t耩 2 耫 y 0耨t耩 2 耫 z 0耨t耩 2处处非零(这保证了其为浸入，即局部一一映射)。不是正则曲线的例子：如耨t 2 , t3 耩在零点处对t导数为耨耰, 耰耩，局部非一一映射。长度： R b a |r 0 耨t耩|聤t 弧长参数：s耨t耩耽 R t a |r 0 耨u耩|聤u，s 0 耨t耩耽 |r 0 耨t耩| > 耰。弧长参数化：C 耽 γ ◦ s −1，则有C耨s耩耽 γ耨t耩，|C 0 耨s耩| 耽 |r 0 耨t耩t 0 耨s耩| 耽 s 0 耨t耩|t 0 耨s耩| 耽耰

曲线的几何平面曲线的曲率对曲线的正则点t,当t <2<t充分靠近t时，r)，r),r)各不相同。假设三点不共线，令三点趋近t,设C为三点构成的圆的圆心。考察函数t→r()-C(1,2,,r(①)-C(61,2,t)》在t2.3处取值相同，求导，利用中值定理可知31∈ =0 结合以上两式，若t12.3→to时C(t1,2,ta)→C,则满足(to)y(to)-C)=0,且(”(to,y(to)-C)+ o'(to).'(to)=0。 *当(to),”(to)不共线时，C被唯一确定。弧长参数(s)下：由于((s),(s)》=1,求导可知(”(s),Y(s)》=0,因此Y(s0),"(s0)共线当且仅当"(s0)= 0.其不为0时，方程组化为o760)-9=0 ("(s).(s)-C=-1 利用方程组与"(s),Y(s》=0可推知"(s0)=a((s0)-C),a<0,同时点积y(s0)-C可知ah(s0)-CP= -1,从而h(s0)-C1=而定理1.9.设r(s)是孤长参数正则曲线，则： 1.r”()≠0时，$123充分接近时r(1,r(2),r()不共线，且在123→s时，三点所确定的圆收敛到过r(s)的圆，半径为可，国心在与r(s)处切线垂直的直钱上。 2.r"(s)=0时，即使r(s1,(2,r(g)不共线，其确定的圆也不可能收敛。证明.以下不妨设s1<2<sg: 1.若任何邻域内有r(s1),r(2),r(s3)共线，由柯西中值定理可知存在1<a<2<b<$3使得r(a)与r(⑥)同向，又由弧长参数可知其相等，从而再由中值定理知存在a<c<b使得r”()=0,再令s,s趋近s可得矛盾。设C为满足r'(s,r(s)-C)=0,r”(s,r(s)-C)=-1的一确定的圆心，下证9123构成的圆的圆心C(s1,2,)收敛到C,从而再由收敛到的圆过r(8)可知半径即为可° 类似上方取中值，由中值定理，记C(s1,2,)=Co,其满足(r(a,r(@)-Co)=((),r()-Co〉= 0,("(c,r(c)-Co)=-1。记C-Co=D,利用极限可知((a),D)=(⑥，D)=("(c),D)→0. 由连续性即可知D→0，因此得证。 2.类似1，若C收敛到C,仍然存在(r(s,r(s)-C)=0.(”(s),r(s)-C)=-1,但此时r"(s)=0,第二个式子不可能成立，从而矛盾。 *这样确定的圆称为密切圆 ◇ *设r(s)为平面弧长参数正则曲线，其s处曲率定义为”(s: 记r(s)=t(s),可发现其为单位切向量，设单位向量(s)与(s)垂直，且{t(s),n(s)}与，}定向相同，则称其为s处的单位正法向量，由(s)唯一确定。 {r(s;t(8),n(s)}是一个以r(s)为原点的正交标架，称它为沿曲线r的Frenet标架。 (s)=r”(s)=k(s)n(s),而由对t(s,n(s)》求导可算出n(s)=-(s)t(s),这里的(s)是标量函数，称为带符号曲率，与参数化有关（如记(s)=r1-),则(）=一(l-s: 定建10，对正对由成0=e00.有s=产品

一曲线的几何耵平面曲线的曲率对曲线的正则点t，当t1 < t2 < t3充分靠近t时，r耨t1耩, r耨t2耩, r耨t3耩各不相同。假设三点不共线，令三点趋近t，设C为三点构成的圆的圆心。考察函数t → hr耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩, r耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩i在t1,2,3处取值相同，求导，利用中值定理可知∃ξ1 ∈ 耨t1, t2耩, ξ2 ∈ 耨t2, t3耩,hγ 0 耨t耩, γ耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩i |t=ξ1,2 耽耰。再次求导并利用中值定理，可知∃η ∈ 耨ξ1, ξ2耩，使得hγ 00耨η耩, γ耨η耩 − C耨t1, t2, t3耩i 耫 hγ 0 耨η耩, γ0 耨η耩i 耽耰结合以上两式，若t1,2,3 → t0时C耨t1, t2, t3耩 → C，则满足hγ 0 耨t0耩, γ耨t0耩 − Ci 耽耰，且hγ 00耨t0耩, γ耨t0耩 − Ci 耫 hγ 0 耨t0耩, γ0 耨t0耩i 耽耰。耪当γ 0 耨t0耩, γ00耨t0耩不共线时，C被唯一确定。弧长参数γ耨s耩下：由于hγ 0 耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耱，求导可知hγ 00耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耰，因此γ 0 耨s0耩, γ00耨s0耩共线当且仅当γ 00耨s0耩耽耰。其不为耰时，方程组化为    hγ 0 耨s0耩, γ耨s0耩 − Ci 耽耰 hγ 00耨s0耩, γ耨s0耩 − Ci 耽 −耱。利用方程组与hγ 00耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耰可推知γ 00耨s0耩耽 a耨γ耨s0耩−C耩, a < 耰，同时点积γ耨s0耩−C可知a|γ耨s0耩−C| 2 耽 −耱，，从而|γ耨s0耩 − C| 耽 1 γ00(s0) 定理 1.9. 设r耨s耩是弧长参数正则曲线，则： 1. r 00耨s耩 6耽耰时，s1,2,3充分接近s时r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线，且在s1,2,3 → s时，三点所确定的圆收敛到过r耨s耩的圆，半径为 1 |r 00(s)|，圆心在与r耨s耩处切线垂直的直线上。 2. r 00耨s耩耽耰时，即使r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线，其确定的圆也不可能收敛。证明. 以下不妨设s1 < s2 < s3：耱耮若任何邻域内有r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩共线，由柯西中值定理可知存在s1 < a < s2 < b < s3使得r 0 耨a耩与r 0 耨b耩同向，又由弧长参数可知其相等，从而再由中值定理知存在a < c < b使得r 00耨c耩耽耰，再令s1, s3趋近s可得矛盾。设C为满足hr 0 耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽耰,hr 00耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽 −耱的唯一确定的圆心，下证s1,2,3构成的圆的圆心C耨s1, s2, s3耩收敛到C，从而再由收敛到的圆过r耨s耩可知半径即为 1 |r 00(s)|。类似上方取中值，由中值定理，记C耨s1, s2, s3耩耽 C0，其满足hr 0 耨a耩, r耨a耩 − C0i 耽 hr 0 耨b耩, r耨b耩 − C0i 耽耰,hr 00耨c耩, r耨c耩 − C0i 耽 −耱。记C − C0 耽 D，利用极限可知hr 0 耨a耩, Di 耽 hr 0 耨b耩, Di 耽 hr 00耨c耩, Di → 耰。由连续性即可知D → 耰，因此得证。耲耮类似耱，若C0收敛到C，仍然存在hr 0 耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽耰,hr 00耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽 −耱，但此时r 00耨s耩耽耰，第二个式子不可能成立，从而矛盾。耪这样确定的圆称为密切圆耪设r耨s耩为平面弧长参数正则曲线，其s处曲率定义为|r 00耨s耩|。记r 0 耨s耩耽 t耨s耩，可发现其为单位切向量，设单位向量n耨s耩与t耨s耩垂直，且{t耨s耩, n耨s耩}与{i, j}定向相同，则称其为s处的单位正法向量，由t耨s耩唯一确定。 {r耨s耩耻t耨s耩, n耨s耩}是一个以r耨s耩为原点的正交标架，称它为沿曲线r的Frenet标架。 t 0 耨s耩耽 r 00耨s耩耽 κ耨s耩n耨s耩，而由对ht耨s耩, n耨s耩i求导可算出n 0 耨s耩耽 −κ耨s耩t耨s耩，这里的κ耨s耩是标量函数，称为带符号曲率，与参数化有关耨如记r耖耨s耩耽 r耨l − s耩，则κ耖耨s耩耽 −κ耨l − s耩耩。定理 1.10. 对正则曲线r耨t耩耽耨x耨t耩, y耨t耩耩，有κ 耽 x 0y 00 − x 00y 0 耨x 02 耫 y 02耩 3/2