数学建模（学习笔记）一种基于对流扩散方程的有风烟尘扩散数值模拟方法

目录 目录 摘要 一、前言 1 二、相关工作 1 21研究背景 1 S22高斯扩散模型.·········。·。·.···· 1 2.2.1无界空间连续点源扩散的高斯模型········。······· 2 2.22高架连续点源扩散的地表浓度。··········· 2 2.3拉格朗日扩散模型。.························ 3 2.3.1拉格朗日粒子模型 ………”……… 3 232拉格朗日烟团模型。·······。··············· 4 $2.4常见模型的分析 。。。。。。。。。。。,。。。，，。,，。。，，，。, 4 三、问题分析 4 31建模假设···· 5 311灰尘性质… 5 312迎风扩散··。··……········ 3.13有效性验证。·········…········……·· 5 S3.2符号说明·········· 5 四、模型建立 6 S41对流-扩散方程·····。······。············ 6 42有限差分法·。。。···。。···。······ 7 421基本介绍… 7 422FTCS格式..·......·.....··..···.·. 423CN格式··········…··· 8 S4.3稳定性分析···· 8 4.3.1 von Neumman方法。，。。·。。：··.。··············· 4.3.2TCS格式分析·····…······ 9 433CN格式分析1

目录 目录 I 摘要 III 一、 前言 1 二、 相关工作 1 §2.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.2 高斯扩散模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2.1 无界空间连续点源扩散的高斯模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.2 高架连续点源扩散的地表浓度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §2.3 拉格朗日扩散模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3.1 拉格朗日粒子模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3.2 拉格朗日烟团模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §2.4 常见模型的分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 三、 问题分析 4 §3.1 建模假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.1 灰尘性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.2 迎风扩散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.3 有效性验证 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §3.2 符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 四、 模型建立 6 §4.1 对流-扩散方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §4.2 有限差分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2.1 基本介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2.2 FTCS 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2.3 C-N 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §4.3 稳定性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3.1 von Neumman 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3.2 FTCS 格式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3.3 C-N 格式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I

五、求解方案选择 11 S5.1伪边界处理 511一维问题· 11 5.1.2边界方案 。 12 5.1.3效果对比 $5.2稳定性 15 5.2.1 二维问题与稳态解 。。，。。。，，，。，，，，，，，，，，，，，，，，， 15 5.2.2预估-校正实现C-N 5.2.3效果对比 六、三维扩散展示 18 S6.1基本结果. 19 6.1.1简化处理 19 6.1.2扩散过程 19 6.1.3风速与扩散系数 6.1.4高度影响 $6.2重力项. 子 6.2.1重力项影响.. 62.2自适应重力更新 $6.3地面边界..... 6.3.1吸收系数的影响 28 6.3.2蒙版法.··· 6.3.3 复杂情况 。。。。。。。。。。。。，。。。。。，，，。,，，，，，，，， 七、总结与讨论 污 S71总结 33 7.1.1效果实现 $7.2讨论· 34 7.2.1应用举例 34 722改进方向····，············· 34 参考文献 36 附录-文件列表 37

五、 求解方案选择 11 §5.1 伪边界处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.1.1 一维问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.1.2 边界方案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.3 效果对比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §5.2 稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2.1 二维问题与稳态解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2.2 预估-校正实现 C-N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2.3 效果对比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 六、 三维扩散展示 18 §6.1 基本结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.1.1 简化处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.1.2 扩散过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.1.3 风速与扩散系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.1.4 高度影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 §6.2 重力项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2.1 重力项影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.2 自适应重力更新 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §6.3 地面边界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3.1 吸收系数的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3.2 蒙版法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3.3 复杂情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 七、 总结与讨论 33 §7.1 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.1.1 效果实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.1.2 模型比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §7.2 讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2.1 应用举例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2.2 改进方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 参考文献 36 附录-文件列表 37 II

摘要 针对工厂烟肉排放的灰尘扩散问题，本文基于微分方程的大气扩散数学模型，建立一个 能够模拟灰尘浓度分布特征的模型，用于确定工厂周围地表灰尘浓度。该模型考虑了烟肉排 放的灰尘量、风速和地形等因素，并使用了数值方法进行求解。考虑到简捷性，在模型建立 中对现实条件进行适当简化： (1)灰尘排放：设定为烟肉点源排放，单位时间内排放的灰尘质量Q保持不变： (2)灰尘扩散：灰尘本身不发生分解、衰变等变化，满足质量守恒： (3)外界条件：气温、大气稳定，风的平均流场稳定、风速U恒定、风向固定且平直：地 势不对风场产生影响： 通过各种数值方法对模型的计算求解后，我们得到了不同条件下的灰尘浓度分布情况， 为工厂的环境保护提供了参考。 Abstract Aiming at the problem of dust dispersion emitted by factory chimneys,this paper estab- lishes a model that can simulate the distribution characteristics of dust concentration based on the mathematical model of atmospheric dispersion based on differential equations,and is used to determine the dust concentration on the surface around the factory.The model takes into account factors such as the amount of dust emitted from the chimney,wind speed,and terrain.and uses numerical methods to solve for it.Taking into account the simplicity.the realistic conditions are appropriately simplified in the model building: (1)Dust emission:set as chimney point source emission,the mass of dust emitted pe unit time Q remains unchanged; (2)Dust diffusion:the dust itself does not undergo decomposition,decay and other changes,which meets the conservation of quality (3)External conditions:air temperature,stable atmosphere,stable average flow field of wind,constant wind speed U constant,fixed and straight wind direction;The terrain is flat and does not affect the wind field: Calculating the model by several numerical methods,we can obtain the dust concentra tion distribution under different conditions,which provides a reference for the environmental protection of the factory

摘要 针对工厂烟囱排放的灰尘扩散问题，本文基于微分方程的大气扩散数学模型，建立一个 能够模拟灰尘浓度分布特征的模型，用于确定工厂周围地表灰尘浓度。该模型考虑了烟囱排 放的灰尘量、风速和地形等因素，并使用了数值方法进行求解。考虑到简捷性，在模型建立 中对现实条件进行适当简化： (1) 灰尘排放：设定为烟囱点源排放，单位时间内排放的灰尘质量 Q 保持不变； (2) 灰尘扩散：灰尘本身不发生分解、衰变等变化，满足质量守恒； (3) 外界条件：气温、大气稳定，风的平均流场稳定、风速 U 恒定、风向固定且平直；地 势不对风场产生影响； 通过各种数值方法对模型的计算求解后，我们得到了不同条件下的灰尘浓度分布情况， 为工厂的环境保护提供了参考。 Abstract Aiming at the problem of dust dispersion emitted by factory chimneys, this paper estab￾lishes a model that can simulate the distribution characteristics of dust concentration based on the mathematical model of atmospheric dispersion based on differential equations, and is used to determine the dust concentration on the surface around the factory. The model takes into account factors such as the amount of dust emitted from the chimney, wind speed, and terrain, and uses numerical methods to solve for it. Taking into account the simplicity, the realistic conditions are appropriately simplified in the model building: (1) Dust emission: set as chimney point source emission, the mass of dust emitted per unit time Q remains unchanged; (2) Dust diffusion: the dust itself does not undergo decomposition, decay and other changes, which meets the conservation of quality; (3) External conditions: air temperature, stable atmosphere, stable average flow field of wind, constant wind speed U constant, fixed and straight wind direction; The terrain is flat and does not affect the wind field; Calculating the model by several numerical methods, we can obtain the dust concentra￾tion distribution under different conditions, which provides a reference for the environmental protection of the factory. III

期末作业 Final Assignment 2023年5月28日 数学建模课程 May 28th,2023 一、前言 随着工业化的发展，工厂生产对环境污染成为了人们生活上的困扰。我国许多城市的生 活区内大烟囱林立，排放的灰尘浓烟对人体健康和环境造成了潜在的危害。因此，对于工厂 烟肉周边地表灰尘扩散浓度的研究具有重要的现实意义。 本文旨在针对目前的排放问题，通过建立模型，对工厂烟囱排放的灰尘在周围环境扩散 分布浓度等进行模拟评估，研究工厂排放污染的扩散规律，估计工厂更利于居民健康的建设 地点，为相关部门提供科学的决策依据，以保障人民健康和环境的安全。我们将通过以下几 个方面来实现研究目的： 1.分析工厂烟囱周边地表灰尘扩散的影响因素，包括气象条件、地形地貌、工厂烟肉高 度、烟肉排放速率等： 2。建立数学模型，描述灰尘扩散的过程，并考虑上述影响因素的作用： 3.考察对模型求解的各种数值条件与方式，确定求解方法 4。通过数值模拟，模拟不同气象条件、地形地貌、工厂烟囱高度、烟囱排放速率等情况 下的灰尘扩散浓度分布情况： 5.对模拟结果进行分析和评价，探讨工厂烟囱周边地表灰尘扩散的规律，并提出相应的 控制措施和建议。 二、相关工作 S2.1研究背景 1932年，微气象学家Sutton提出描述大气扩散过程的高斯方程，首次通过野外试验参 数推算了大气污染物的扩散状况。 0世纪70年代，随着有限元法、有限差分法、有限体积法等近似计算方法的发展，基于 流体力学、数值计算方法以及计算机图形学建立的流体动力学方法形成，基于Navier-Stokes 方程的三维流体力学模型预测方法得以建立，大气扩散模拟的精度得到大幅度提升，模拟过 程也更为便捷。 目前国内常用的大气污染扩散模型主要有：以高斯理论为基础、以拉格朗日方法为基础 的模型，采用Navier--Stokes方程和扩散方程的偏微分方程模型，等。 $2.2高斯扩散模型 以高斯理论为基础的扩散模式-以烟囱排放点作为原点，平均风向为x轴正方向，烟 囱垂直于地表水平面朝上为z轴正方向，建立右手坐标系Oy2,并做如下假设： 1

期末作业 2023 年 5 月 28 日 数学建模课程 Final Assignment May 28th, 2023 一、 前言 随着工业化的发展，工厂生产对环境污染成为了人们生活上的困扰。我国许多城市的生 活区内大烟囱林立，排放的灰尘浓烟对人体健康和环境造成了潜在的危害。因此，对于工厂 烟囱周边地表灰尘扩散浓度的研究具有重要的现实意义。 本文旨在针对目前的排放问题，通过建立模型，对工厂烟囱排放的灰尘在周围环境扩散 分布浓度等进行模拟评估，研究工厂排放污染的扩散规律，估计工厂更利于居民健康的建设 地点，为相关部门提供科学的决策依据，以保障人民健康和环境的安全。我们将通过以下几 个方面来实现研究目的： 1. 分析工厂烟囱周边地表灰尘扩散的影响因素，包括气象条件、地形地貌、工厂烟囱高 度、烟囱排放速率等； 2. 建立数学模型，描述灰尘扩散的过程，并考虑上述影响因素的作用； 3. 考察对模型求解的各种数值条件与方式，确定求解方法； 4. 通过数值模拟，模拟不同气象条件、地形地貌、工厂烟囱高度、烟囱排放速率等情况 下的灰尘扩散浓度分布情况； 5. 对模拟结果进行分析和评价，探讨工厂烟囱周边地表灰尘扩散的规律，并提出相应的 控制措施和建议。 二、 相关工作 §2.1 研究背景 1932 年，微气象学家 Sutton 提出描述大气扩散过程的高斯方程，首次通过野外试验参 数推算了大气污染物的扩散状况。 20 世纪 70 年代，随着有限元法、有限差分法、有限体积法等近似计算方法的发展，基于 流体力学、数值计算方法以及计算机图形学建立的流体动力学方法形成，基于 Navier-Stokes 方程的三维流体力学模型预测方法得以建立，大气扩散模拟的精度得到大幅度提升，模拟过 程也更为便捷。 目前国内常用的大气污染扩散模型主要有：以高斯理论为基础、以拉格朗日方法为基础 的模型，采用 Navier-Stokes 方程和扩散方程的偏微分方程模型，等。 §2.2 高斯扩散模型 以高斯理论为基础的扩散模式 [1–3] 以烟囱排放点作为原点，平均风向为 x 轴正方向，烟 囱垂直于地表水平面朝上为 z 轴正方向，建立右手坐标系 Oxyz，并做如下假设： 1

期末作业 Final assignment 2023年5月28日 数学建模课程 May 28th,2023 1.烟肉排放的灰尘浓度在4，之轴向上的分布符合正态分布： 2.在全空间内风速均匀： 3.排放源强连续均匀： 4.在扩散过程中灰尘符合质量守恒。 2.21无界空间连续点源扩散的高斯模型 对于下风向任意一点（，，），灰尘浓度为： C(,y,2)=A()e-av'ebz (2.1) 定义在，之方向的方差为扩散参数σg,:,它们与大气稳定程度有关，由于风的存在 它们随x增加而增加，且由等式： =d山y (2.2) 反解得到： =玩6=编 (2.3) 根据质量守恒，源强： Q-ucdvdz (2.4) 其中，U为风速，Q为单位时间的排放质量。 将式(2.1)、式(2.3)带入式(2.4)得： A()=2nUova: (2.5) 最后整理得到无界空间连续点源扩散的高斯模型： cu=2t8。即（盖+】 (2.6) 2.2.2高架连续点源扩散的地表浓度 这里考虑烟囱（高架）高度为，并假设地面对灰尘起全反射作用。 那么类似221分析，对于下风向的点(c,,2),灰尘浓度： C(z,y,2)=C1+C2 (2.7） 其中

期末作业 2023 年 5 月 28 日 数学建模课程 Final Assignment May 28th, 2023 1. 烟囱排放的灰尘浓度在 y, z 轴向上的分布符合正态分布； 2. 在全空间内风速均匀； 3. 排放源强连续均匀； 4. 在扩散过程中灰尘符合质量守恒。 2.2.1 无界空间连续点源扩散的高斯模型 对于下风向任意一点 (x, y, z) ，灰尘浓度为： C(x, y, z) = A(x)e −ay2 e −bz2 (2.1) 定义在 y, z 方向的方差为扩散参数 σy, σz，它们与大气稳定程度有关，由于风的存在， 它们随 x 增加而增加，且由等式： σ 2 y = ∫ ∞ 0 y 2 dy ∫ ∞ 0 C dy , σ2 z = ∫ ∞ 0 z 2 dz ∫ ∞ 0 C dz (2.2) 反解得到： a = 1 2σ 2 y , b = 1 2σ 2 z (2.3) 根据质量守恒，源强： Q = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ UC dy dz (2.4) 其中，U 为风速，Q 为单位时间的排放质量。 将式 (2.1)、式 (2.3) 带入式 (2.4) 得： A(x) = Q 2πUσyσz (2.5) 最后整理得到无界空间连续点源扩散的高斯模型： C(x, y, z) = Q 2πUσyσz exp [ − ( y 2 2σ 2 y + z 2 2σ 2 z )] (2.6) 2.2.2 高架连续点源扩散的地表浓度 这里考虑烟囱 (高架) 高度为 h ，并假设地面对灰尘起全反射作用。 那么类似 2.2.1 分析，对于下风向的点 (x, y, z) ，灰尘浓度： C(x, y, z) = C1 + C2 (2.7) 其中 C1 = Q 2πUσyσz exp [ − ( y 2 2σ 2 y + (z − h) 2 2σ 2 z )] 2