40 第三章行列式 02 例3.6.计算行列式 1-1-22 11-1-2 021 -22 -1-22 解答 1 交换①.③t @-=2①_005 1-1-22 021 0-=0021 11-1-2 1112 021-4 1-1 -22 1-1-22 交换@.③元021-1行0-=®021-1 =12.5(-3)=-30. 005-5 005- 021-4 000-3 定理3.3.对于任意n阶方阵A=(a),det(4)=det(4). 证明.根据行列式的完全展开式(3.1)， det(AT)= （-l）rna1a2ain 其中每个a,1a2…ann可以重新排列成a1n2n…ann的形式.即可以经过T(i1,i2,…,in)次 交换，把（号“：）变成(A)同理，可以经过心1,2，…，n)次交换，把（员“ 变成（）.因此.r山)=←1)rU,故d(4四=dct(A) ◇ 定理3.3表明，dt(A)既可以看作是A的行向量的函数，也可以看作是A的列向量的函数， 行与列的地位是平等的，关于行向量的性质可以自然适用于列向量，反之亦然.在求行列式时，既 可以对行向量施行初等变换，也可以同时对列向量施行初等变换。 211-1 -10-10 例3.7.计算行列式 2-22 1 1020 21-11 1200 解答. -10-10交换0.④行 -1-100 -2 1 交执.③别-2 21 -1 1020 211-1 习题 1.证明完全展开式(3.1)定义的多元函数△(a1,a2,·,0n)满足定义3.1所述的三个性质. 2.求下列排列的逆序数 (1)(1,7,6,10,2,5,84,9,3) (2)(2,10,7,9,4,6,5,3,1,8) (3)(3,5,4,9,10,12,8,7,6) (4)(4.2.1.3.6.9.7.10.8.5) (5)(1.3.5....2k-1.2.4.6..2k (6)2.4.6..,2k.13.5....2k-1 ()(1,3,5…,2k-1,2k, …,6,4,2 (8)(2k,,6,4,2,1,3,5,…,2k-1)
40 第三章 行列式 例 3.6. 计算行列式 0 2 1 −1 2 −2 1 −1 1 −1 −2 2 1 1 −1 −2 ． 解答. 0 2 1 −1 2 −2 1 −1 1 −1 −2 2 1 1 −1 −2 交换⃝1 ,⃝3 行 −−−−−−−→ − 1 −1 −2 2 2 −2 1 −1 0 2 1 −1 1 1 −1 −2 行⃝2 −=2⃝1 −−−−−−−→ 行⃝4 −=⃝1 − 1 −1 −2 2 0 0 5 −5 0 2 1 −1 0 2 1 −4 交换⃝2 ,⃝3 行 −−−−−−−→ 1 −1 −2 2 0 2 1 −1 0 0 5 −5 0 2 1 −4 行⃝4 −=⃝2 −−−−−−−→ 1 −1 −2 2 0 2 1 −1 0 0 5 −5 0 0 0 −3 = 1 · 2 · 5 · (−3) = −30． 定理 3.3. 对于任意 n 阶方阵 A = (aij )，det(AT ) = det(A)． 证明. 根据行列式的完全展开式 (3.1)， det(A T ) = X (i1,i2,··· ,in)∈Sn (−1)τ(i1,i2,··· ,in) ai11ai22 · · · ainn 其中每个 ai11ai22 · · · ainn 可以重新排列成 a1j1 a2j2 · · · anjn 的形式．即可以经过 τ (i1, i2, · · · , in) 次 交换，把 i1 i2 ··· in 1 2 ··· n 变成 1 2 ··· n j1 j2 ··· jn ．同理，可以经过 τ (j1, j2, · · · , jn) 次交换，把 1 2 ··· n j1 j2 ··· jn 变成 i1 i2 ··· in 1 2 ··· n ．因此，(−1)τ(i1,i2,··· ,in) = (−1)τ(j1,j2,··· ,jn)，故 det(AT ) = det(A)． 定理 3.3 表明，det(A) 既可以看作是 A 的行向量的函数，也可以看作是 A 的列向量的函数， 行与列的地位是平等的，关于行向量的性质可以自然适用于列向量，反之亦然．在求行列式时，既 可以对行向量施行初等变换，也可以同时对列向量施行初等变换． 例 3.7. 计算行列式 2 1 1 −1 −1 0 −1 0 −2 −2 2 1 1 0 2 0 ． 解答. 2 1 −1 1 −1 0 −1 0 −2 −2 2 1 1 0 2 0 交换⃝1 ,⃝4 行 −−−−−−−→ 交换⃝2 ,⃝3 列 1 2 0 0 −1 −1 0 0 −2 2 −2 1 2 1 1 −1 = 1 2 −1 −1 · −2 1 1 −1 = 1． 习题 1. 证明完全展开式 (3.1) 定义的多元函数 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足定义 3.1 所述的三个性质． 2. 求下列排列的逆序数． (1) (1, 7, 6, 10, 2, 5, 8, 4, 9, 3) (2) (2, 10, 7, 9, 4, 6, 5, 3, 1, 8) (3) (3, 5, 4, 9, 10, 1, 2, 8, 7, 6) (4) (4, 2, 1, 3, 6, 9, 7, 10, 8, 5) (5) (1, 3, 5, · · · , 2k − 1, 2, 4, 6, · · · , 2k) (6) (2, 4, 6, · · · , 2k, 1, 3, 5, · · · , 2k − 1) (7) (1, 3, 5, · · · , 2k − 1, 2k, · · · , 6, 4, 2) (8) (2k, · · · , 6, 4, 2, 1, 3, 5, · · · , 2k − 1)
S3.1行列式的定义 3.分别计算初等方阵S,D,(),T,(A)的行列式. 4.设A=(ay)∈xn是三角方阵，f∈[.证明：det(fA)-f(a)f(a2小…f(aum). 5.计算下列方阵的行列式. /1101 /1100 /0100 (1) -11 3 0 110 010 1-11 0011 0101 -100 1 -1001/ 0010 b o a b c aaaa -a 0 d e a 0 d e a bbb (④) () b d o f (6) -6-d 0 f a b cc -c -0/ c e f o a b c d a d a b c d 1 a a2 a -b a -d c d a b c 1 b 62B3 -G d a-b c d a b (9) 1cc23 -d -c a 1+a1+a21+a1+a4 aa+1a+2a+3 bb+1b+2b+3 (10) 1+b1+21+31+ (11) 1+c1+c21+c31+c4 cc+1c+2c+3 1+d1+1+1+ dd+1d+2d+3 (a+12 (a+2)2 (a+1)P(a+2)3(a+3) (12) (b+1)2 (b+2)2(6+3) (6+1)3(6+2)3(6+3)3 2 (c+2y2(e+3)2 (13) c2(c+1)3(e+2)3 (c+3) (d+1)2 d+22 (d+3) e(d+1 (d+2y3(d+3) 0 1 2 n-1 1 2…n-1 0 1 1 (14) 0 (15) -1 2 1 1 n-1… 2 1 0 -2-1 /0…0A (16) A20 ,其中A=a,1是r:阶纯量方阵，i. A。0 0
§3.1 行列式的定义 41 3. 分别计算初等方阵 Sij , Di(λ), Tij (λ) 的行列式． 4. 设 A = (aij ) ∈ F n×n 是三角方阵，f ∈ F[x]．证明：det(f(A)) = f(a11)f(a22)· · · f(ann)． 5. 计算下列方阵的行列式． (1) 1 1 0 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 0 0 1 (2) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 1 (3) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 (4) 0 a b c −a 0 d e −b −d 0 f −c −e −f 0 (5) 0 a b c a 0 d e b d 0 f c e f 0 (6) a a a a a b b b a b c c a b c d (7) a b c d −b a −d c −c d a −b −d −c b a (8) a b c d d a b c c d a b b c d a (9) 1 a a2 a 3 1 b b2 b 3 1 c c2 c 3 1 d d2 d 3 (10) 1 + a 1 + a 2 1 + a 3 1 + a 4 1 + b 1 + b 2 1 + b 3 1 + b 4 1 + c 1 + c 2 1 + c 3 1 + c 4 1 + d 1 + d 2 1 + d 3 1 + d 4 (11) a a + 1 a + 2 a + 3 b b + 1 b + 2 b + 3 c c + 1 c + 2 c + 3 d d + 1 d + 2 d + 3 (12) a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 (13) a 3 (a + 1)3 (a + 2)3 (a + 3)3 b 3 (b + 1)3 (b + 2)3 (b + 3)3 c 3 (c + 1)3 (c + 2)3 (c + 3)3 d 3 (d + 1)3 (d + 2)3 (d + 3)3 (14) 0 1 2 · · · n − 1 1 0 1 . . . . . . 2 1 0 . . . 2 . . . . . . . . . . . . 1 n − 1 · · · 2 1 0 (15) x 1 2 · · · n − 1 −1 x 1 . . . . . . −2 −1 x . . . 2 . . . . . . . . . . . . 1 1 − n · · · −2 −1 x (16) O · · · O A1 . . . . . . A2 O O . . . . . . . . . Ap O · · · O ，其中 Ai = aiI 是 ri 阶纯量方阵，∀i．
42 第三章行列式 S3.2 Binet-Cauchy公式 上节中给出了行列式的定义以及一些最基本的性质，本节及下节将给出更多关于行列式和矩阵 的重要性质，以及运用这些性质求行列式和逆矩阵的方法.基本思想方法是 1.化繁为简，把复杂矩阵分解为简单矩阵的乘积形式 2.分而治之，把高阶行列式展开成低阶行列式。 定理3.4.对于任意n价方库A,B,det(AB)=det(A)det(B). 证明.设A=(@小B的行向量分别为：，…，月，则AB的第个行向量=三码， …∑an吗） = a1.a2a…an.det(6,月2…，8n） a1ia22…anj det(B,月2，…，月n) =det(A)det(B). ◇ 数域F上行列式等于1的阶方阵的全体，在矩阵乘法运算下构成群，称为特殊线性群，记 作SL(n,F). 定理35.方A是可方降当且仅当du(0≠0，并且d(A-=a而 证明.根据定理2.5，存在一系列初等方阵乃，…，P,Q1,…,Q,使得 根据定理2.7和定理2.14，A可逆分B可逆台r=n,根据定理3.4，det(A)≠0台det(B) det(n)…det(P.)det(Q)…dct(Q)det(A)≠0台r=n.因此，A可逆÷det(A)≠0. 由det(A)det(A-)=det(AAl)=1可知det(A-)=aca 定理3.4可以推广到A,B不是方阵的情形. 定理3.6(Binet间.Cauchy公式).设A是m×n矩库，B是n×m矩库. daAB)={2ceda(a28=)dat(o生=h）,m≤m 0, m n. Philippe Marie 1786-1856,法国数学家、物理学家
42 第三章 行列式 §3.2 Binet-Cauchy 公式 上节中给出了行列式的定义以及一些最基本的性质．本节及下节将给出更多关于行列式和矩阵 的重要性质，以及运用这些性质求行列式和逆矩阵的方法．基本思想方法是 1. 化繁为简，把复杂矩阵分解为简单矩阵的乘积形式． 2. 分而治之，把高阶行列式展开成低阶行列式． 定理 3.4. 对于任意 n 阶方阵 A, B，det(AB) = det(A) det(B)． 证明. 设 A = (aij )，B 的行向量分别为 β1, β2, · · · , βn，则 AB 的第 i 个行向量 γi = Pn j=1 aijβj． det(AB) = det Xn j=1 a1jβj , Xn j=1 a2jβj , · · · , Xn j=1 anjβj ! = X 1⩽j1,j2,··· ,jn⩽n a1j1 a2j2 · · · anjn det(βj1 , βj2 , · · · , βjn ) = X (j1,j2,··· ,jn)∈Sn a1j1 a2j2 · · · anjn det(βj1 , βj2 , · · · , βjn ) = X (j1,j2,··· ,jn)∈Sn a1j1 a2j2 · · · anjn (−1)τ(j1,j2,··· ,jn) det(β1, β2, · · · , βn) = det(A) det(B). 数域 F 上行列式等于 1 的 n 阶方阵的全体，在矩阵乘法运算下构成群，称为特殊线性群，记 作 SL(n, F)． 定理 3.5. 方阵 A 是可逆方阵当且仅当 det(A) 6= 0，并且 det(A−1 ) = 1 det(A) ． 证明. 根据定理 2.5，存在一系列初等方阵 P1, · · · , Ps, Q1, · · · , Qt，使得 B = Ps · · · P1AQ1 · · · Qt = Ir O O O! . 根据定理 2.7 和定理 2.14，A 可逆 ⇔ B 可逆 ⇔ r = n．根据定理 3.4，det(A) 6= 0 ⇔ det(B) = det(P1)· · · det(Ps) det(Q1)· · · det(Qt) det(A) 6= 0 ⇔ r = n．因此，A 可逆 ⇔ det(A) 6= 0． 由 det(A) det(A−1 ) = det(AA−1 ) = 1 可知 det(A−1 ) = 1 det(A)． 定理 3.4 可以推广到 A, B 不是方阵的情形． 定理 3.6 (Binet[6]-Cauchy 公式). 设 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × m 矩阵． det(AB) = P 1⩽i1<i2<···<im⩽n det A[ 1 2 ··· m i1 i2 ··· im ] det B[ i1 i2 ··· im 1 2 ··· m ] , m ⩽ n; 0, m > n. [6]Jacques Philippe Marie Binet，1786–1856，法国数学家、物理学家．
S3.2BNET-CAUCHY公式 43 送明当>时，概方体-（白o小立-（日有 det(AB)=det(AB)=det(A)det(B)=0 当m≤n时，设A=(a,B的行向量分别为，2，，，则 det(AB)=dt∑av4∑a,月…，∑ong j=1 a1.a2a…amdet(ga,3a…,月) = 6a65)t利 det(Am]det(B可gm] 例3.8.方阵V= 12号…x2- ::… 称为Vandermondeli方阵.计算det(W)和V-l. 1 In 22 ..zm-1 解答.首先计算det(V). 解法一对V作初等列变换，从第列开始，每一列减去前一列的1倍，得 1 0 0.. 0 det(V)= 2-T1x2(2-x）…-2(x2-x) 1m-工nxn(红n-)…x-2(红n-x 1…2 =(2-x)小…(-)：… 1m…x8-2 利用数学归纳法，dt=,c.,-) 解法二.视det(W)为xn的多项式f(n).由f()=…=f(红m-i)=0可得 f(x)=c(x-)…(z-xn-i). 再由行列式的完全展开式，可得f(x)的最高次项系数c是n-l阶Vandermonde方阵(x-)的 行列式.同上.dtW凸-小 lexare-Thophile Vande 0dc,1735-1796,法国音乐家、数学家、化学家
§3.2 BINET-CAUCHY 公式 43 证明. 当 m > n 时，设方阵 Ae = A O ，Be = B O ! ，得 det(AB) = det(AeBe) = det(Ae) det(Be) = 0. 当 m ⩽ n 时，设 A = (aij )，B 的行向量分别为 β1, β2, · · · , βn，则 det(AB) = det Xn j=1 a1jβj , Xn j=1 a2jβj , · · · , Xn j=1 amjβj ! = X 1⩽j1,j2,··· ,jm⩽n a1j1 a2j2 · · · amjm det(βj1 , βj2 , · · · , βjm) = X 1⩽i1<i2<···<im⩽n (j1,j2,··· ,jm)是 (i1, i2, · · · , im) 的排列 a1j1 a2j2 · · · amjm(−1)τ(j1,j2,··· ,jm) det(βi1 , βi2 , · · · , βim) = X 1⩽i1<i2<···<im⩽n det A[ 1 2 ··· m i1 i2 ··· im ] det B[ i1 i2 ··· im 1 2 ··· m ] . 例 3.8. 方阵 V = 1 x1 x 2 1 · · · x n−1 1 1 x2 x 2 2 · · · x n−1 2 . . . . . . . . . · · · . . . 1 xn x 2 n · · · x n−1 n 称为 Vandermonde[7]方阵．计算 det(V ) 和 V −1． 解答. 首先计算 det(V )． 解法一．对 V 作初等列变换，从第 n 列开始，每一列减去前一列的 x1 倍，得 det(V ) = 1 0 0 · · · 0 1 x2 − x1 x2(x2 − x1) · · · x n−2 2 (x2 − x1) . . . . . . . . . · · · . . . 1 xn − xn xn(xn − x1) · · · x n−2 n (xn − x1) = (x2 − x1)· · ·(xn − x1) 1 x2 · · · x n−2 2 . . . . . . · · · . . . 1 xn · · · x n−2 n . 利用数学归纳法，det(V ) = Q 1⩽i<j⩽n (xj − xi)． 解法二．视 det(V ) 为 xn 的多项式 f(xn)．由 f(x1) = · · · = f(xn−1) = 0 可得 f(x) = c(x − x1)· · ·(x − xn−1). 再由行列式的完全展开式，可得 f(x) 的最高次项系数 c 是 n − 1 阶 Vandermonde 方阵 x j−1 i 的 行列式．同上，det(V ) = Q 1⩽i<j⩽n (xj − xi)． [7]Alexandre-Théophile Vandermonde，1735–1796，法国音乐家、数学家、化学家．
44 第三章行列式 解法三.设0=1，间=宜化-=上，2≤j≤.对等式 ()0 0 i(2)f2(2). 0 ·01 i(n)f2(en)…fn(n)/ 两边分别取行列式，得det(V)=h(e)2(n(en)=,几.（g-) 下面计算W=(wg)=V-1.根据定理3.5，V是可逆方阵当且仅当det(W)≠0，即x1…, 1i=j.因此， 两两不同.设，0=三g.由W=1可得)=6={0 -器 其中n-i(, ,-1,西+1，…，xn)是n-1个变元的n-i次基本对称多项式. 在例3.8中，Vandermonde方阵V被分解为V=LU-l的形式，其中L是下三角方阵，U是 单位上三角方阵，记号d,可以看作是关于i,j的二元函数，通常称为Kronecker网6函数 例3.9.方阵C 称为Cauchy方阵.计算det(C)和C-1. 。设e=-)==o.由矩阵乘积分解 c-() r到 “H h(t1)】 Leopold Krone -1891. 德国数学家
44 第三章 行列式 解法三．设 f1(t) = 1，fj (t) = j Q−1 i=1 (t − xi) = P j i=1 aij t i−1，2 ⩽ j ⩽ n．对等式 1 x1 · · · x n−1 1 1 x2 · · · x n−1 2 . . . . . . · · · . . . 1 xn · · · x n−1 n 1 a12 · · · a1n 0 1 · · · a2n . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 1 = f1(x1) 0 · · · 0 f1(x2) f2(x2) . . . . . . . . . . . . . . . 0 f1(xn) f2(xn) · · · fn(xn) 两边分别取行列式，得 det(V ) = f1(x1)f2(x2)· · · fn(xn) = Q 1⩽i<j⩽n (xj − xi)． 下面计算 W = (wij ) = V −1．根据定理 3.5，V 是可逆方阵当且仅当 det(V ) 6= 0，即 x1, · · · , xn 两两不同．设 gj (t) = Pn i=1 wij t i−1．由 V W = I 可得 gj (xi) = δij = 1 i = j 0, i 6= j ．因此， gj (t) = Y k̸=j t − xk xj − xk , wij = (−1)n−iσn−i(x1, · · · , xj−1, xj+1, · · · , xn) Q k̸=j (xj − xk) , 其中 σn−i(x1, · · · , xj−1, xj+1, · · · , xn) 是 n − 1 个变元的 n − i 次基本对称多项式． 在例 3.8 中，Vandermonde 方阵 V 被分解为 V = LU −1 的形式，其中 L 是下三角方阵，U 是 单位上三角方阵．记号 δij 可以看作是关于 i, j 的二元函数，通常称为 Kronecker[8] δ 函数． 例 3.9. 方阵 C = 1 s1−t1 1 s1−t2 · · · 1 s1−tn 1 s2−t1 1 s2−t2 · · · 1 s2−tn . . . . . . · · · . . . 1 sn−t1 1 sn−t2 · · · 1 sn−tn 称为 Cauchy 方阵．计算 det(C) 和 C −1． 解答. 设 p(x) = Qn i=1 (x − ti)，qj (x) = p(x) x − tj = Pn i=1 aijx i−1．由矩阵乘积分解 C = qj (si) p(si) = 1 p(s1) 1 p(s2) . . . 1 p(sn) 1 s1 · · · s n−1 1 1 s2 · · · s n−1 2 . . . . . . · · · . . . 1 sn · · · s n−1 n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . an1 an2 · · · ann 和 q1(t1) q2(t2) . . . qn(tn) = 1 t1 · · · t n−1 1 1 t2 · · · t n−1 2 . . . . . . · · · . . . 1 tn · · · t n−1 n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . an1 an2 · · · ann [8]Leopold Kronecker，1823–1891，德国数学家．