S2.2分块矩阵 25 4.设A=(A)pxg,B=(B,)gxr满足A的列数等于B的行数，则AB=(Cp,其中 Cy=∑AuB,吃， /1000 例210.求与A=0100 乘积可交换的所有方阵B. 0020 \0002 一亿到a-(低）民是阳的疾在A-(你) B21 B2z BA-()可得B=Ba=0.容易验证，形知如(：0）的方日都满足 2 AB=BA,即为所求 定义2.6.设A=(a,)是m×n矩阵，B是p×g矩阵，则mp×ng矩阵 auB B ..aB aaB anB... an1Bam2BamnB 称为A和B的张量积或Kronecker积，记作C=A⑧B.例如， ·20中的库A-() ·例2.9中的矩阵A=14⑧P+P4⑧5 例2.11.设2阶方阵A= ）-()x-(白￥-( 1.矩阵方程AX=Y可以表示为线性方程组Px=y的形式， 0ag0a4/x4/ 其中系数矩阵P=A⑧I,x由X的行向量拼接而成，y由Y的行向量拼接而成. 2.矩阵方程XB=Y可以表示为线性方程组Qx=y的形式， b2 ba 0 0 其中系数矩阵Q=1⑧BT
§2.2 分块矩阵 25 4. 设 A = (Aij )p×q，B = (Bij )q×r 满足 Aik 的列数等于 Bkj 的行数，则 AB = (Cij )p×r，其中 Cij = Xq k=1 AikBkj , ∀i, j. 例 2.10. 求与 A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 乘积可交换的所有方阵 B． 解答. 设 A = I O O 2I ! ，B = B11 B12 B21 B22! ，其中每个 Bij 是 2×2 的方阵．由 AB = B11 B12 2B21 2B22! ， BA = B11 2B12 B21 2B22! 可得 B12 = B21 = O．容易验证，形如 B11 O O B22! 的方阵 B 都满足 AB = BA，即为所求． 定义 2.6. 设 A = (aij ) 是 m × n 矩阵，B 是 p × q 矩阵，则 mp × nq 矩阵 C = a11B a12B · · · a1nB a21B a22B · · · a2nB . . . . . . · · · . . . am1B am2B · · · amnB 称为 A 和 B 的张量积或 Kronecker 积，记作 C = A ⊗ B．例如， • 例 2.10 中的矩阵 A = 1 0 0 2! ⊗ I2． • 例 2.9 中的矩阵 A = I4 ⊗ P5 + P4 ⊗ I5． 例 2.11. 设 2 阶方阵 A = a1 a2 a3 a4 ! ，B = b1 b2 b3 b4 ! ，X = x1 x2 x3 x4 ! ，Y = y1 y2 y3 y4 ! ． 1. 矩阵方程 AX = Y 可以表示为线性方程组 P x = y 的形式， a1 0 a2 0 0 a1 0 a2 a3 0 a4 0 0 a3 0 a4 x1 x2 x3 x4 = y1 y2 y3 y4 , 其中系数矩阵 P = A ⊗ I，x 由 X 的行向量拼接而成，y 由 Y 的行向量拼接而成． 2. 矩阵方程 XB = Y 可以表示为线性方程组 Qx = y 的形式， b1 b3 0 0 b2 b4 0 0 0 0 b1 b3 0 0 b2 b4 x1 x2 x3 x4 = y1 y2 y3 y4 , 其中系数矩阵 Q = I ⊗ BT．
26 第二章矩阵运算 3.矩阵方程AXB=Y可以表示为线性方程组Mx=y的形式， Laib abs azb1 azbs a1b2 aiba a2b2 a2ba asb2 asba aab2 aab 其中系数矩阵M=A⑧BT, 4.结合1,2,3可得M=PQ=QP,即A⑧BT=(A⑧I(1②BT)=(I⑧B)(A⑧)· 习题 1.证明定理2.3. 2.设A,X,Y,X,Y都是n阶方阵，m是正整数，计算下列矩阵乘积或方幂. X3 X4 ✉(69低96)台CGg9 x I O e (9) o x o" (8)0x1 x00 00x 01010A0 3.设方阵A= 001B=00A 求与B乘积可交换的所有方阵 100/ A00 4设mXn网格图G的项点集V=化，1工=1,2，，my=1,2,小，两个顶点(，别） 与（2，欢）相邻当且仅当1-x2+一=1.把V按照字典顺序排列.用分块矩阵表示 G的邻接矩阵. 5.定义两个图G,G的直积G=G×G,如下.G的顶点集V={(,)4是G的顶点} (1,2)→(，2)是G的边当且仅当（仙1=且2→是G2的边）或者(2=且 出1→”是G1的边).用G1,G2的邻接矩阵表示G的邻接矩阵. 6.设n维超立方体图Qm的顶点集V={0,1,两个顶点(1,2，…，工n)与(1，次，…，h)相 邻当且仅当1一劝+2一2+…+比n一=1.把V按照字典顺序排列.思考Qn与 Qn-1的关系，并用分块矩阵递推表示Q的邻接矩阵。 7.设矩阵乘积AC,BD有意义.证明：(A⑧B)(C⑧D)=(AC)⑧(BD)· 8.设A,A1,A2是m×n矩阵，B,B1,B2是p×g矩阵，C是s×t矩阵.证明： (1)(A1+A2)⑧B=(A1⑧B)+(A2⑧B)(2)A⑧(B+B2)=(A⑧B)+(A⑧B2) (3)(A8BT=(AT)(B) (④(4B)⑧C=A(BC
26 第二章 矩阵运算 3. 矩阵方程 AXB = Y 可以表示为线性方程组 Mx = y 的形式， a1b1 a1b3 a2b1 a2b3 a1b2 a1b4 a2b2 a2b4 a3b1 a3b3 a4b1 a4b3 a3b2 a3b4 a4b2 a4b4 x1 x2 x3 x4 = y1 y2 y3 y4 , 其中系数矩阵 M = A ⊗ BT． 4. 结合 1,2,3 可得 M = P Q = QP，即 A ⊗ BT = (A ⊗ I)(I ⊗ BT ) = (I ⊗ BT )(A ⊗ I)． 习题 1. 证明定理 2.3． 2. 设 Ai , Xi , Yi , X, Y 都是 n 阶方阵，m 是正整数，计算下列矩阵乘积或方幂． (1) X1 X2 A1 A2 A3 A4 ! Y1 Y2 ! (2) X1 X2 X3 X4 ! A1 O O A2 ! Y1 Y2 Y3 Y4 ! (3) I X O I ! A1 A2 A3 A4 ! I −X O I ! (4) I X O I ! A1 A2 A3 A4 ! I O Y I ! (5) O X Y O!m (6) X O Y X!m (7) O X O O O X X O O m (8) X I O O X I O O X m 3. 设方阵 A = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ，B = O A O O O A A O O ．求与 B 乘积可交换的所有方阵． 4. 设 m×n 网格图 G 的顶点集 V = {(x, y) | x = 1, 2, · · · , m; y = 1, 2, · · · , n}，两个顶点 (x1, y1) 与 (x2, y2) 相邻当且仅当 |x1 − x2| + |y1 − y2| = 1．把 V 按照字典顺序排列．用分块矩阵表示 G 的邻接矩阵． 5. 定义两个图 G1, G2 的直积 G = G1 × G2 如下．G 的顶点集 V = {(v1, v2) | vi 是 Gi 的顶点}， (u1, u2) → (v1, v2) 是 G 的边当且仅当 (u1 = v1 且 u2 → v2 是 G2 的边) 或者 (u2 = v2 且 u1 → v1 是 G1 的边)．用 G1, G2 的邻接矩阵表示 G 的邻接矩阵． 6. 设 n 维超立方体图 Qn 的顶点集 V = {0, 1} n，两个顶点 (x1, x2, · · · , xn) 与 (y1, y2, · · · , yn) 相 邻当且仅当 |x1 − y1| + |x2 − y2| + · · · + |xn − yn| = 1．把 V 按照字典顺序排列．思考 Qn 与 Qn−1 的关系，并用分块矩阵递推表示 Qn 的邻接矩阵． 7. 设矩阵乘积 AC, BD 有意义．证明：(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)． 8. 设 A, A1, A2 是 m × n 矩阵，B, B1, B2 是 p × q 矩阵，C 是 s × t 矩阵．证明： (1) (A1 + A2) ⊗ B = (A1 ⊗ B) + (A2 ⊗ B) (2) A ⊗ (B1 + B2) = (A ⊗ B1) + (A ⊗ B2) (3) (A ⊗ B) T = (AT ) ⊗ (BT ) (4) (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
S2.2分块矩阵 之 9.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，X,Y都是m×n矩阵，，y分别是X,Y的列向量依次 拼接而成的mm维列向量.把下列矩阵方程表示为y=Mx的形式. ()Y=AX(②)Y=XB(3)Y=AXB(④Y=AX-XB
§2.2 分块矩阵 27 9. 设 A 是 m 阶方阵，B 是 n 阶方阵，X, Y 都是 m × n 矩阵，x, y 分别是 X, Y 的列向量依次 拼接而成的 mn 维列向量．把下列矩阵方程表示为 y = Mx 的形式． (1) Y = AX (2) Y = XB (3) Y = AXB (4) Y = AX − XB
第二章矩阵运算 S2.3初等方阵 在第一章中，介绍了对于线性方程组，或者说是对矩阵的行向量进行操作的三种初等变换。事 实上，它们都可以表示为矩阵乘积的形式。例如，设矩阵 A-a2 a4是行向量 ·交换A的第1,3行，得到 日-日… ·把A的第2行乘上常数入，得到 p.- 。把A的第1行的入倍加至第3行，得到 Ba= 小 =PA. 3+ 上述方阵B,P,乃都可以看作是对单位方阵作同样的初等变换的结果. 定义27.对单位方阵的行向量作三类初等变换所得到的方阵称为初等方阵。它们分别是 ·S=I-E-E+E+E,i≠i ·D,()=1n+a-)E,入≠0 ·T()=I+λE,i≠j: 定理2.4.初等方阵具有下列性质. ·S是对称方阵.S号=1.当{亿，}n{k,=a时，S与S乘积可交换。 ·D,(A)是对角方阵.D:(A)D,()=I.任意D,(A)与D(m)乘积可交换 ·T()是三角方阵.T(AT(-A)=1.当i≠1且j≠k时，T()与Ta()乘积可交换 ·S可以表示为其它两美初等方阵的乘积.S-D(-1T(-1)T()T(-1)
28 第二章 矩阵运算 §2.3 初等方阵 在第一章中，介绍了对于线性方程组，或者说是对矩阵的行向量进行操作的三种初等变换．事 实上，它们都可以表示为矩阵乘积的形式．例如，设矩阵 A = α1 α2 α3 , αi 是行向量． • 交换 A 的第 1, 3 行，得到 B1 = α3 α2 α1 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 α1 α2 α3 = P1A. • 把 A 的第 2 行乘上常数 λ，得到 B2 = α1 λα2 α3 = 1 0 0 0 λ 0 0 0 1 α1 α2 α3 = P2A. • 把 A 的第 1 行的 λ 倍加至第 3 行，得到 B3 = α1 α2 α3 + λα1 = 1 0 0 0 1 0 λ 0 1 α1 α2 α3 = P3A. 上述方阵 P1, P2, P3 都可以看作是对单位方阵作同样的初等变换的结果． 定义 2.7. 对单位方阵的行向量作三类初等变换所得到的方阵称为初等方阵．它们分别是 • Sij = I − Eii − Ejj + Eij + Eji，i 6= j． • Di(λ) = In + (λ − 1)Eii，λ 6= 0． • Tij (λ) = I + λEij，i 6= j． 定理 2.4. 初等方阵具有下列性质． • Sij 是对称方阵．S 2 ij = I．当 {i, j} ∩ {k, l} = ∅ 时，Sij 与 Skl 乘积可交换． • Di(λ) 是对角方阵．Di(λ)Di( 1 λ ) = I．任意 Di(λ) 与 Dj (µ) 乘积可交换． • Tij (λ) 是三角方阵．Tij (λ)Tij (−λ) = I．当 i 6= l 且 j 6= k 时，Tij (λ) 与 Tkl(µ) 乘积可交换． • Sij 可以表示为其它两类初等方阵的乘积．Sij = Di(−1)Tij (−1)Tji(1)Tij (−1)．
S2.3初等方降 29 对单位方阵的列向量作初等变换得到的方阵也是初等方阵，对矩阵的行向量作初等变换等价于 矩阵左乘上初等方阵，对矩阵的列向量作初等变换等价于矩阵右乘上初等方阵。对于分块矩阵的行 与列，也可以作类似的“分块初等变换 O IA B =/c D) AC D A B (A(e=(BA D C (( ACP DQ I OA B B A BI O A+BX B X 1C D)-XA+C XB+D C D)1)-C+DX D) 定理2.5.对于任意A∈Fmxm,有如下结论。 1.存在非负整数r和一系列初等方阵B,…,P∈Fm×m,Q1,…,Q:∈Rm×m,使得 I.O 2.存在非负整数r和一系列初等方阵月，…，P∈Fm×m,O1,…,O:∈mxm,使得 4-月e(68）a-0 证明.当A=O时，设P=户=Im,Q=交：=In,r=0,结论显然成立.下设A=(a)≠O. 1.对m使用数学归纳法.当m=1时，设a≠0，则有 A·D(）ΠT(-a1)S=(10…0) 当m≥2时，设a≠0，则有 sw卫-ow4p-卫a-a-s-(（g 对于矩阵B应用归纳假设，存在非负整数r和一系列初等方阵B,…,P,Q1,…,Q,使得 （)-（(a)-（-( 2.根据定理2.4，对于任意初等方阵P,Q,都存在初等方阵户，0，使得户P=Im,Q.0=n 因月68）aa=月Rn4QQa.a=A
§2.3 初等方阵 29 对单位方阵的列向量作初等变换得到的方阵也是初等方阵．对矩阵的行向量作初等变换等价于 矩阵左乘上初等方阵，对矩阵的列向量作初等变换等价于矩阵右乘上初等方阵．对于分块矩阵的行 与列，也可以作类似的“分块初等变换”． O I I O! A B C D! = C D A B! , A B C D! O I I O! = B A D C! , P O O Q! A B C D! = P A P B QC QD! , A B C D! P O O Q! = AP BQ CP DQ! , I O X I ! A B C D! = A B XA + C XB + D ! , A B C D! I O X I ! = A + BX B C + DX D! . 定理 2.5. 对于任意 A ∈ F m×n，有如下结论． 1. 存在非负整数 r 和一系列初等方阵 P1, · · · , Ps ∈ F m×m，Q1, · · · , Qt ∈ F n×n，使得 Ps · · · P1AQ1 · · · Qt = Ir O O O! . 2. 存在非负整数 r 和一系列初等方阵 Pe1, · · · , Pes ∈ F m×m，Qe1, · · · , Qet ∈ F n×n，使得 A = Pe1 · · · Pes Ir O O O! Qet · · · Qe1. 证明. 当 A = O 时，设 Pi = Pei = Im，Qi = Qei = In，r = 0，结论显然成立．下设 A = (aij ) 6= O． 1. 对 m 使用数学归纳法．当 m = 1 时，设 a1j 6= 0，则有 A · Dj ( 1 a1j ) · Y k̸=j Tjk(−a1k) · S1j = (1 0 · · · 0). 当 m ⩾ 2 时，设 aij 6= 0，则有 S1i · Y k̸=i Tki(−akj ) · A · Dj ( 1 aij ) · Y k̸=j Tjk(−aik) · S1j = 1 B ! . 对于矩阵 B 应用归纳假设，存在非负整数 r 和一系列初等方阵 P1, · · · , Ps, Q1, · · · , Qt，使得 Ps · · · P1BQ1 · · · Qt = Ir O O O! ，从而有 1 Ps ! · · · 1 P1 ! 1 B ! 1 Q1 ! · · · 1 Qt ! = Ir+1 O ! , 其中所有 1 Pi ! , 1 Qi ! 也都是初等方阵．故定理结论成立． 2. 根据定理 2.4，对于任意初等方阵 Pi , Qi，都存在初等方阵 Pei , Qei，使得 PeiPi = Im，QiQei = In． 因此，Pe1 · · · Pes Ir O O O! Qet · · · Qe1 = Pe1 · · · PesPs · · · P1AQ1 · · · QtQet · · · Qe1 = A．