20 第二章矩阵运算 ()对于任意两点“，U∈V,存在唯一的线e∈E,使得u∈e且v∈e: ()存在四点a,b,c,d∈V,使得{a,b,c,d与任意e∈E至多有两个公共点 类似地，可定义x的关联矩阵A=(ay)mxn,其中a4, 1,v;ee .由条件().（曲可得 讲一步由条件()可得 k1=a=…=km=d1=d山2=…=dn=入，m=n=2-入+1. (2.4) 例如，下图是最小的有限射影平面，由7个点，，…，的和7条线{1,2，，{，4，s}, {,%,},{2,4,t6,{2,5,},{,4,m,{3,5,%}构成. /1110000\ 1001100 1000011 0101010 0100101 0011001 0010110/ 定理22.矩阵的乘法运算具有下列性质. 1.对于任意A∈m×n和月，2，…，品，∈mx1,有 A(aB…民，)=（A6A品…A3,) 2.对于任意A∈mxn和A∈F,有(Im）A=入A=A(In). 3.对于任意A∈mxn,B∈mP和CePX4,有(AB)C=A(BC) 4.对于任意A,B∈Fmxn和C,D∈mxP,有 (A+B)C=(AC)+(BC),A(C+D)=(AC)+(AD). 5.对于任意A∈BmXn和B∈mXP,有(AB)T=BTAF. 6.对于任意A∈mxn和B∈Rm×m,有tr(AB)=tr(BA). 由定理2.2可知，矩阵的乘法运算满足结合律，从而可以定义矩阵的方幂和多项式运算
20 第二章 矩阵运算 (ii) 对于任意两点 u, v ∈ V ，存在唯一的线 e ∈ E，使得 u ∈ e 且 v ∈ e； (iii) 存在四点 a, b, c, d ∈ V ，使得 {a, b, c, d} 与任意 e ∈ E 至多有两个公共点． 类似地，可定义 π 的关联矩阵 A = (aij )m×n，其中 aij = 1, vj ∈ ei 0, vj ∈/ ei ．由条件 (i),(ii) 可得 AAT = k1 1 · · · 1 1 k2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 km , AT A = d1 1 · · · 1 1 d2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 dn . (2.3) 进一步由条件 (iii) 可得 k1 = k2 = · · · = km = d1 = d2 = · · · = dn = λ, m = n = λ 2 − λ + 1. (2.4) 例如，下图是最小的有限射影平面，由 7 个点 v1, v2, · · · , v7 和 7 条线 {v1, v2, v3}，{v1, v4, v5}， {v1, v6, v7}，{v2, v4, v6}，{v2, v5, v7}，{v3, v4, v7}，{v3, v5, v6} 构成． v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 A = 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 定理 2.2. 矩阵的乘法运算具有下列性质． 1. 对于任意 A ∈ F m×n 和 β1, β2, · · · , βp ∈ F n×1，有 A β1 β2 · · · βp = Aβ1 Aβ2 · · · Aβp . 2. 对于任意 A ∈ F m×n 和 λ ∈ F，有 (λIm)A = λA = A(λIn)． 3. 对于任意 A ∈ F m×n，B ∈ F n×p 和 C ∈ F p×q，有 (AB)C = A(BC)． 4. 对于任意 A, B ∈ F m×n 和 C, D ∈ F n×p，有 (A + B)C = (AC) + (BC), A(C + D) = (AC) + (AD). 5. 对于任意 A ∈ F m×n 和 B ∈ F n×p，有 (AB) T = BT AT． 6. 对于任意 A ∈ F m×n 和 B ∈ F n×m，有 tr(AB) = tr(BA)． 由定理 2.2 可知，矩阵的乘法运算满足结合律，从而可以定义矩阵的方幂和多项式运算．
S2.1基本概念 21 定义2.3.设A是n阶方阵，m是正整数.m个A的乘积称为A的m次方幂，记作Am,特别 规定=(括A=0情形.对于四)=三∈，定义 (A)=>=coI+A+...+.cmAm 计算一般矩阵A的方幂A和多项式f(A)的通常算法是：首先把A分解为A=PBP-1的 形式，其中B是对角方阵或Jordan标准形，然后计算B和f(B),最后计算A=PB*P-1和 (A)=P∫(B)P-1,相关内容详见第五章.对于某些特殊矩阵，有可能存在更简便的方法， 例2.7.求线性递推数列xn+1=arn+brn-1的通项公式。 1 例2.8.求连分数[ao,1,…,an=a0+ 一的展开分数 1 a1+ + 解袋设a叫=会0≤k≤n由二=a+贵=，可设 -(6 因匙o-号脚（月-（合日-(0日 习题 1.证明定理2.1和定理2.2. a--:e- /112 ,计算AB,BC,B2,ABC 212 101/ 110/ 0210 3.设f()=ao+a1x+…+anx”.求n+1阶方阵B=(,）和n阶方阵C=(c),满足 fe+0=艺y-y,f@二=2yr- c-u 并说明B和C都是对称方阵. 4.设A∈Rmxn,B∈Rm×n,证明： (但)若B是对称方阵，则ABAT也是对称方阵. (2)若B是对角元素都是0的反对称方阵，则ABAT也是对角元素都是0的反对称方阵
§2.1 基本概念 21 定义 2.3. 设 A 是 n 阶方阵，m 是正整数．m 个 A 的乘积称为 A 的 m 次方幂，记作 Am．特别 规定 A0 = In (包括 A = O 情形)．对于 f(x) = Pm k=0 ckx k ∈ F[x]，定义 f(A) = Xm k=0 ckA k = c0I + c1A + · · · + cmA m. 计算一般矩阵 A 的方幂 Ak 和多项式 f(A) 的通常算法是：首先把 A 分解为 A = P BP −1 的 形式，其中 B 是对角方阵或 Jordan 标准形，然后计算 Bk 和 f(B)，最后计算 Ak = P BkP −1 和 f(A) = P f(B)P −1．相关内容详见第五章．对于某些特殊矩阵，有可能存在更简便的方法． 例 2.7. 求线性递推数列 xn+1 = axn + bxn−1 的通项公式． 解答. xn+1 xn ! = a b 1 0! xn xn−1 ! = · · · = a b 1 0!n x1 x0 ! ⇒ xn = 0 1 a b 1 0!n x1 x0 ! ． 例 2.8. 求连分数 [a0, a1, · · · , an] = a0 + 1 a1 + 1 . . . + . . . an−1 + 1 an 的展开分数． 解答. 设 [ak, ak+1, · · · , an] = pk qk ，0 ⩽ k ⩽ n．由 pk−1 qk−1 = ak−1 + qk pk = ak−1pk + qk pk ，可设 pk−1 qk−1 ! = ak−1 1 1 0! pk qk ! . 因此，[a0, a1, · · · , an] = p q ，其中 p q ! = a0 1 1 0! a1 1 1 0! · · · an 1 1 0! 1 0 ! ． 习题 1. 证明定理 2.1 和定理 2.2． 2. 设 A = 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 1 ，B = 1 0 2 1 1 2 1 1 0 ，C = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0 ．计算 AB，BC，B2，ABC． 3. 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anx n．求 n + 1 阶方阵 B = (bij ) 和 n 阶方阵 C = (cij )，满足 f(x + y) = Xn+1 i,j=1 bijx i−1 y j−1 , f(x) − f(y) x − y = Xn i,j=1 cijx i−1 y j−1 . 并说明 B 和 C 都是对称方阵． 4. 设 A ∈ F m×n，B ∈ F n×n．证明： (1) 若 B 是对称方阵，则 ABAT 也是对称方阵． (2) 若 B 是对角元素都是 0 的反对称方阵，则 ABAT 也是对角元素都是 0 的反对称方阵．
22 第二章矩阵运算 001/010 6.设A=010B-00 分别举例3阶非对角的实方阵X满足如下条件 100/ 100/ (1)X2=I(2)X3=I(3)X2=-A(4)X3=-A(⑤)X2=B(6)X3=B 7.设m是正整数，求Am,其中A= 10 1-1 11 1) 1-1/ 1100 /1111 /1100 abi a1bz aba aba 0110 (6) 0111 () 0110 0011 0011 (8) agbi a3bz asbs asba 0001/ 0001 1001/ asbr asbz aabsaabs 8.求与方阵A乘积可交换（即满足AB=BA)的所有方阵B,其中A= /1000 (1) 0200 (2) 689 0010 0030 0001 1000 (4) 0001 10004/ 1000 0100 0000 /0001 /0001\ /0010 /0100 (5) 0020 0100 0300 (6) 0010 1000 0100 () (8) 1000 0001 4000/ 1000/ 0001 0010/ 9.(1)求与任意n阶方阵都乘积可交换的方阵。 (2)求与任意n阶对称方阵都乘积可交换的方阵， (3)求与任意n阶反对称方阵都乘积可交换的方阵 10.设m,n是正整数，A,B∈m×,∫∈F.证明 (1)(A+B)2+(A-B2=2A2+2B2. (2)若AB=BA,则M+B)m=三C陆ABm-,其中C结是组合数。 周若AB=BA且m=0,则A+到=利+含点mWB (④若A,B都是对称方阵，则AB是对称方阵台AB=BA. 1L.(L)设A,B∈Cmxn.证明：tr(AA)tr(BB)≥tr(AB)tr(BA)≥0. (2)设A∈Cm×m满足tr(AA)=0.证明：A=O. (3)设A∈Cm×n满足tr(AA)=tr(A2).证明：A=AH 12.(①)设A∈Fmxm,B∈mP都是上三角矩阵，证明：AB也是上三角矩阵 (②)设A∈mxm是上三角方阵，∫∈F,证明：f(A)也是上三角方阵
22 第二章 矩阵运算 5. 对于 H = 0 1 1 0! 和 H = 0 −1 1 0 ! ，分别求所有 2 阶实方阵 A 满足 AHAT = H． 6. 设 A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ，B = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ．分别举例 3 阶非对角的实方阵 X 满足如下条件． (1) X2 = I (2) X3 = I (3) X2 = −A (4) X3 = −A (5) X2 = B (6) X3 = B 7. 设 m 是正整数，求 Am，其中 A = (1) 1 −1 1 0 ! (2) 1 0 1 −1 ! (3) 1 −1 1 1 ! (4) 1 1 1 −1 ! (5) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 (6) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 (7) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 (8) a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 8. 求与方阵 A 乘积可交换（即满足 AB = BA）的所有方阵 B，其中 A = (1) 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 (2) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 (3) 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 (4) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (5) 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 (6) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (7) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 (8) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 9. (1) 求与任意 n 阶方阵都乘积可交换的方阵． (2) 求与任意 n 阶对称方阵都乘积可交换的方阵． (3) 求与任意 n 阶反对称方阵都乘积可交换的方阵． 10. 设 m, n 是正整数，A, B ∈ F n×n，f ∈ F[x]．证明： (1) (A + B) 2 + (A − B) 2 = 2A2 + 2B2． (2) 若 AB = BA，则 (A + B) m = Pm k=0 C k mAkBm−k，其中 C k m 是组合数． (3) 若 AB = BA 且 Bm = O，则 f(A + B) = f(A) + mP−1 k=1 1 k! f (k) (A)Bk． (4) 若 A, B 都是对称方阵，则 AB 是对称方阵 ⇔ AB = BA． 11. (1) 设 A, B ∈ C m×n．证明：tr(AAH)tr(BBH) ⩾ tr(ABH)tr(BAH) ⩾ 0． (2) 设 A ∈ C m×n 满足 tr(AAH) = 0．证明：A = O． (3) 设 A ∈ C n×n 满足 tr(AAH) = tr(A2 )．证明：A = AH． 12. (1) 设 A ∈ F m×n , B ∈ F n×p 都是上三角矩阵．证明：AB 也是上三角矩阵． (2) 设 A ∈ F n×n 是上三角方阵，f ∈ F[x]．证明：f(A) 也是上三角方阵．
S2.1基本概念 23 13.设n阶方阵A=(a)和B=(®，)的元素都是可微函数.记=(，)， 仙证明：出-兰8+4受 (②)A与4是否一定乘积可交换？证明你的结论。 14.证明例2.6（有限射影平面）中的(2.3)和(2.4)式 15.设0=1.Q=,Q=11,m≥2 n-2 (1)问证明：Q。是以x为变元的整数系数多项式。 (2)用矩阵方幂表示Q.的通项公式. 16.利用矩阵乘积求递推数列{xn}nN的通项公式. ()xn=a1工n-1十a2rn-2十…十a4xn-k,其中k是给定的正整数，a1,a2,…,ak是常数。 间云，一二牛治其中a6d是霜数 17.同设n是正整数，@1，a2,…,a-1是任意实数，定义递推数列0=山1=0==1， ug+1=4k+akuk-1,k+1=%+an-kk-l,h=1,…,n-1 证明：山n= 18.间设a0,a1,2,…是整数，b0,b1,b2,…是正整数，满足a0=0,a1=1, fanbn+an-1,bn-1=1 dati daba-an-1 ba1 n=1,2,… 证明：max(a,an+i）≥n 门2017年Ptnm数学竟赛A2
§2.1 基本概念 23 13. 设 n 阶方阵 A = aij (x) 和 B = bij (x) 的元素都是可微函数．记 dA dx = a ′ ij (x) ． (1) 证明：d(AB) dx = dA dx B + A dB dx ． (2) A 与 dA dx 是否一定乘积可交换？证明你的结论． 14. 证明例 2.6 (有限射影平面) 中的 (2.3) 和 (2.4) 式． 15. 设 Q0 = 1，Q1 = x，Qn = Q2 n−1 − 1 Qn−2 ，∀n ⩾ 2． (1)[7]证明：Qn 是以 x 为变元的整数系数多项式． (2) 用矩阵方幂表示 Qn 的通项公式． 16. 利用矩阵乘积求递推数列 {xn}n∈N 的通项公式． (1) xn = a1xn−1 + a2xn−2 + · · · + akxn−k，其中 k 是给定的正整数，a1, a2, · · · , ak 是常数． (2) xn = axn−1 + b cxn−1 + d ，其中 a, b, c, d 是常数． 17. [8]设 n 是正整数，a1, a2, · · · , an−1 是任意实数，定义递推数列 u0 = u1 = v0 = v1 = 1， uk+1 = uk + akuk−1, vk+1 = vk + an−kvk−1, ∀k = 1, · · · , n − 1. 证明：un = vn． 18. [9]设 a0, a1, a2, · · · 是整数，b0, b1, b2, · · · 是正整数，满足 a0 = 0, a1 = 1， an+1 = anbn + an−1, bn−1 = 1 anbn − an−1, bn−1 > 1 , n = 1, 2, · · · 证明：max(an, an+1) ⩾ n． [7]2017 年 Putnam 数学竞赛 A2． [8]2013 年 IMO 预选题 A1． [9]2017 年 IMO 预选题 A7．
24 第二章矩阵运算 S2.2分块矩阵 定义2.4.设A=(a)mxm,I=(,2 …,)是1,2，…，m}中r个元素的排列，J= (1,2,…,)是{L,2,…,n}中8个元素的排列.由A的第1,2，…，d行和第i,2,…,i. 列元素排成的矩阵 aha… 称为A的子矩阵，记作A,刀或A"].特别，当1=J时，A1,1称为A的主子矩阵. A轻“】称为A的第k个顺序主子矩阵。 定义2.5.设m=m1+m2+…+mp,n=1+2+…+g,把m×n矩阵A分块成 A1A12… A A21A2… Ap1A2…A 其中每个A与是m×的子矩阵.这种分块方式(与)x称为分块矩阵 ·若A,=O,i>,则(A)pxg称为准上三角矩阵 ·若A,=O,<方，则(A,)pX,称为准下三角矩阵 ·若A,=O,≠j,则(Ay)pxp称为准对角矩阵，记作diag(A1,A2,·,Ap). 全准上三角/准下三角准对角矩阵的概念都是针对分块矩阵(A,x,而言，不涉及原矩阵A, 例2.9.考虑如下的网格图G的邻接矩阵A=(ay)20x20.把A的400个元素都写出来显然很费 事，逐个指明A中所有1的位置也很麻烦，而把A表示为分块矩阵的形式则相对容易一些， UI U2 U3 U U5 (Ps Is o /01000 A- Is Ps Is O 10100 P=01010 1 O I B I 00101 00010 定理23.分块矩阵的运算具有下列性质. 1.设A=(Apxa,剥AT=(B)gxp,其中B=A,吃，i. 2.设A=(A)pxg,入是数，则AA=(A)pxg 3.设A=(A)Pxg,B=(BPxg满足A与B,的大小相同，则A+B=(A+BPxg
24 第二章 矩阵运算 §2.2 分块矩阵 定义 2.4. 设 A = (aij )m×n，I = (i1, i2, · · · , ir) 是 {1, 2, · · · , m} 中 r 个元素的排列，J = (j1, j2, · · · , js) 是 {1, 2, · · · , n} 中 s 个元素的排列．由 A 的第 i1, i2, · · · , ir 行和第 j1, j2, · · · , js 列元素排成的矩阵 ai1j1 ai1j2 · · · ai1js ai2j1 ai2j2 · · · ai2js . . . . . . · · · . . . airj1 airj2 · · · airjs 称为 A 的子矩阵，记作 A[I, J] 或 A[ i1 i2 ··· ir j1 j2 ··· js ]．特别，当 I = J 时，A[I, I] 称为 A 的主子矩阵． A[ 1 2 ··· k 1 2 ··· k ] 称为 A 的第 k 个顺序主子矩阵． 定义 2.5. 设 m = m1 + m2 + · · · + mp，n = n1 + n2 + · · · + nq，把 m × n 矩阵 A 分块成 A = A11 A12 · · · A1q A21 A22 · · · A2q . . . . . . · · · . . . Ap1 Ap2 · · · Apq 其中每个 Aij 是 mi × nj 的子矩阵．这种分块方式 (Aij )p×q 称为分块矩阵． • 若 Aij = O，∀i > j，则 (Aij )p×q 称为准上三角矩阵． • 若 Aij = O，∀i < j，则 (Aij )p×q 称为准下三角矩阵． • 若 Aij = O，∀i 6= j，则 (Aij )p×p 称为准对角矩阵，记作 diag(A11, A22, · · · , App)． 准上三角/准下三角/准对角矩阵的概念都是针对分块矩阵 (Aij )p×q 而言，不涉及原矩阵 A． 例 2.9. 考虑如下的网格图 G 的邻接矩阵 A = (aij )20×20．把 A 的 400 个元素都写出来显然很费 事，逐个指明 A 中所有 1 的位置也很麻烦，而把 A 表示为分块矩阵的形式则相对容易一些． v1 v2 v3 v4 v5 v6 v10 v11 v15 v16 v17 v18 v19 v20 A = P5 I5 O O I5 P5 I5 O O I5 P5 I5 O O I5 P5 , P5 = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 ． 定理 2.3. 分块矩阵的运算具有下列性质． 1. 设 A = (Aij )p×q，则 AT = (Bij )q×p，其中 Bij = AT ji，∀i, j． 2. 设 A = (Aij )p×q，λ 是数，则 λA = (λAij )p×q． 3. 设 A = (Aij )p×q，B = (Bij )p×q 满足 Aij 与 Bij 的大小相同，则 A + B = (Aij + Bij )p×q．