4.5球面初等三角形 在航海实际工作中，常会遇到三边与其球半径相比都甚小或一边相对于其他两边都很小 的球面三角形，它们统称为球面初等三角形. 4.5.1球面小三角形 1、定义相对于球半径三边都非常小的球面三角形称为球面小三角形 虽然三边甚小，但三角不会很小，其内角和接近180°且大于180°. 2、球面角盈：三个内角和大于180°的部分称为球面角盈，记为E.即 E=A+B+C-180° (1)若三角已知，则E=A+B+C-180°： ②若三边已知，则E三R14口+C S 24R2 其中：S为球面三角形面积：R为球半径（地球半径：6370km):a,b,c为三边长度： S=√p(p-c(p-a(p-b),p=(a+b+c)为半周长，代入得： S-ia+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-B) 由以上公式可计算出，当地面上的球面小三角形各边长均为l0 nmile、40 nmile、.70 n mile和100ni1e时，球面角盈分别约为1"、12”、37和76.这说明，在地面上的 距离为几十海里时，球面角盈很小.因此，当精度要求不是很高时，可将球面小三角形看成 平面三角形求解。航海上，在视野范围内观测陆标定位时，完全可将球面三角形视作平面三 角形来处理. 计算公式为： [a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B (4.5.1) c2=a2+b2-2abcosC a b sinA sin B sinC (4.5.2) 即平面三角形的余弦和正弦公式. 4.5.2球面窄三角形 1、定义一个边和对角相对于其他两边及其对角都很小的球面三角形称为球面窄三角形 与球面小三角形类似，在精度要求不是很高时，可将球面窄三角形的边和角的计算公式
91 4．5 球面初等三角形 在航海实际工作中，常会遇到三边与其球半径相比都甚小或一边相对于其他两边都很小 的球面三角形，它们统称为球面初等三角形. 4.5.1 球面小三角形 1、定义 相对于球半径三边都非常小的球面三角形称为球面小三角形. 虽然三边甚小，但三角不会很小，其内角和接近 0 180 且大于 0 180 . 2、球面角盈：三个内角和大于 0 180 的部分称为球面角盈，记为 E . 即 0 E A B C = + + −180 . （1）若三角已知，则 0 E A B C = + + −180 ； （2）若三边已知，则 2 2 2 2 2 1 sin1 24 S a b c E R R + + = + . 其中： S 为球面三角形面积； R 为球半径（地球半径： 6370 km）； a ，b ，c 为三边长度； S p p c p a p b = − − − ( )( )( ) ， ( ) 1 2 p a b c = + + 为半周长，代入得： ( )( )( )( ) 1 4 S a b c a b c b c a a c b = + + + − + − + − . 由以上公式可计算出，当地面上的球面小三角形各边长均为 10 n mile、40 n mile、70 n mile 和 100 n mile 时，球面角盈分别约为 1 、12 、37 和 76 . 这说明，在地面上的 距离为几十海里时，球面角盈很小. 因此，当精度要求不是很高时，可将球面小三角形看成 平面三角形求解. 航海上，在视野范围内观测陆标定位时，完全可将球面三角形视作平面三 角形来处理. 计算公式为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − （4.5.1） sin sin sin a b c A B C = = . （4.5.2) 即平面三角形的余弦和正弦公式. 4.5.2 球面窄三角形 1、定义 一个边和对角相对于其他两边及其对角都很小的球面三角形称为球面窄三角形. 与球面小三角形类似，在精度要求不是很高时，可将球面窄三角形的边和角的计算公式
简化，用简单的近似公式代替.这样，既便于计算又便于记忆公式. 2、近似公式 己知小边a和它的邻角B及B角的邻边c,求另一边b和小角A.(如图4.5.1) (1)两边之差(c-b)的第一近似公式： A (c-b)=acos B: (4.5.3) (2)角A的第一近似公式 4-22 (4.5.40 (3)两边之差(c-b)的第二近似公式： 图4.5.1 (c-6)=(c-b)-asn2B.cotc. 或(c-创：=-acos.B-02snB-cmc:45) (4)角A的第二近似公式： =A+a'sin 2B.cotc.cscc. =asin B+a2 sin 2B.cotc.csc c.(4.5.6) 显然，第二近似公式虽比第一近似公式更精确，但计算量也大 例1测得地面上三角形的三边分别为18km、52km、65km,试求该球面三角形的球面角盈 "6-Far,）s-5p-9o-0o-, p=a+b+d)=08+52+6的=67.5： S=V67.5×(67.5-1867.5-5267.5-65)=359.8: E6nnr0,18t 359.8 24×63702 ）=3” 例2设球面三角形ABC是一球面窄三角形，c比a、b小得很多，已知边c=0°48'06”， 角A=860000°，b=4000'00°，试求该三角形的C角和a边. 解(b-a)1=cc0sA=0°48'06"cos8600=3.36:所以 a=40'00x60-336=2396.64mle
92 简化，用简单的近似公式代替. 这样，既便于计算又便于记忆公式. 2、近似公式 已知小边 a 和它的邻角 B 及 B 角的邻边 c ，求另一边 b 和小角 A . (如图 4.5.1) （1）两边之差 ( ) c b − 的第一近似公式： 1 ( ) cos c b a B − = ； （4.5.3) （2）角 A 的第一近似公式： 1 sin sin a B A c = ； （4.5.4) （3）两边之差 ( ) c b − 的第二近似公式： c b c b a sin B cot c 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 − = − − ， 或 c b a B a sin B cot c 2 1 ( ) cos 2 2 2 − = − ； （4.5.5) （4）角 A 的第二近似公式： A A a sin 2B cot c csc c 2 1 2 2 1 = + ， 或 a B c c c a B A sin 2 cot csc 2 1 sin sin 2 2 = + . （4.5.6) 显然，第二近似公式虽比第一近似公式更精确，但计算量也大. 例 1 测得地面上三角形的三边分别为 18 km、52 km、65 km，试求该球面三角形的球面角盈. 解 2 2 2 2 2 1 sin1 24 S a b c E R R + + = + ， S p p c p a p b = − − − ( )( )( ) ， ( ) 1 2 p a b c = + + (18 52 65) 67.5 2 1 = + + = ； S = 67.5(67.5−18)(67.5−52)(67.5− 65) = 359.8 ； ) 3 24 6370 18 52 65 (1 6370 sin 1 359.8 2 2 2 2 2 = + + + E = . 例 2 设球面三角形 ABC 是一球面窄三角形， c 比 a 、b 小得很多，已知边 0 c = 0 48 06 ， 角 0 A = 86 00 00 ， 0 b = 40 00 00 ，试求该三角形的 C 角和 a 边. 解 (b − a) 1 = ccos A 0 0 = = 0 48 06 cos86 00 3.36 ；所以 0 a = − 40 00 60 3.36 = 2396.64nmile ； c B C A a b 图 4.5.1
C-csin4_0°48'06'×sin86°-114'39. sinb sin40° 练习思4.5 1.己知一球面三角形：A=712815”,B-455609”,C=6236'35”,求球面角盈E 2.测得地面上三角形的三边分别为20km、50km、60km,试求该球面三角形的球面角盈. 3.球面三角形ABC是一球面窄三角形，c比a、b小得很多，已知边c=050'.0,角 A=6000.0,b=4500.0,试求该三角形的C角和a边， 4.6任意的球面三角形 一、任意的球面三角形求解 对于任意的球面三角形，在已知三个要素的条件下，求解另外三个要素，有下面的六种 情况. 1、已知两边a,b及其夹角C,求其余两角A,B及第三边c 求法：第三边c可通过边的余弦公式求出，即 cosc=cosacosb+sin asin bcosC: 其余两个角通过余切公式得到，由cot asin b=cot Asin C+cosbeosC,得 cot=cotasin b-cosbcosC 同理，由cot bsin a=cot Bsin C+cosacosC,得 cot B=cotbsn a-cosacosC sin C 2、已知两角A,B及其夹边c,求其余两边a,b及第三角C 求法：第三角C可直接通过角的余弦公式求出，即 cosC=-cos Acos B+sin Asin Bcosc: 其余两条边a,b通过余切公式得到，由cot asin c=cot Asin B+cosccos B,得 cota-cots B+cosccosB 同理 cotbcosn+cosccos sin c 3、已知三边a,b,c,求三个角A,B,C
93 0 0 0 sin 0 48 06 sin86 1 14 39 sin sin 40 o c A C b = = = . 练习题 4.5 1. 已知一球面三角形： 0 A = 71 28 15 ， 0 B = 45 56 09 ， 0 C = 62 36 35 ，求球面角盈 E . 2．测得地面上三角形的三边分别为 20 km、50 km、60 km，试求该球面三角形的球面角盈. 3．球面三角形 ABC 是一球面窄三角形， c 比 a 、 b 小得很多，已知边 0 c = 0 50 .0 ，角 0 A = 60 00 .0 ， 0 b = 45 00 .0 ，试求该三角形的 C 角和 a 边. 4．6 任意的球面三角形 一、任意的球面三角形求解 对于任意的球面三角形，在已知三个要素的条件下，求解另外三个要素，有下面的六种 情况. 1、已知两边 a，b 及其夹角 C ，求其余两角 A ， B 及第三边 c . 求法：第三边 c 可通过边的余弦公式求出，即 cosc = cosacosb +sin asin bcosC ； 其余两个角通过余切公式得到，由 cot asin b = cot Asin C+cosbcosC ，得 C a b b C A sin cot sin cos cos cot − = ； 同理，由 cotbsin a = cot Bsin C+cosacosC ，得 C b a a C B sin cot sin cos cos cot − = . 2、已知两角 A ， B 及其夹边 c ，求其余两边 a ，b 及第三角 C . 求法：第三角 C 可直接通过角的余弦公式求出，即 cosC = −cos AcosB+sin Asin Bcosc ； 其余两条边 a，b 通过余切公式得到，由 cot asin c = cot Asin B+cosccosB ，得 c A B c B a sin cot sin cos cos cot + = ； 同理 c B A c A b sin cot sin cos cos cot + = . 3、已知三边 a，b ， c ，求三个角 A ， B ，C