图4.5.1 (a)平面波(b)内层电子波函数(c)正交化平面波
正交平面波 (T+Ky(r)=Ey(r) 导带或价带电子的布洛赫波函数可按正交化平面波展开得到 将波函数带入波动方程 (T+V-E(k)k)=0 a(k+Kn[T+V-E(k)lIk+Kn) IT+V-E(k)]> lpc)pclk+Kn=0 注意到 (T+v)lc=eclec 7k+)=2m(++)
正交平面波 • 导带或价带电子的布洛赫波函数可按正交化平面波展开得到 • 将波函数带入波动方程 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 �𝜓𝜓𝑘𝑘� = 0 = � ℎ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ � � 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 − 𝐸𝐸(𝑘𝑘) |𝑘𝑘 + 𝐾𝐾 ⟩ ℎ − 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 − 𝐸𝐸(𝑘𝑘) � 𝑐𝑐 �𝜓𝜓 �𝑐𝑐 𝜓𝜓𝑐𝑐 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ = 0 注意到 � 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 �𝜓𝜓 �𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐�𝜓𝜓 �𝑐𝑐 𝑇𝑇|𝑘𝑘 + 𝐾𝐾 ⟩ ℎ = ℏ2 2𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ)2|𝑘𝑘 + 𝐾𝐾 ⟩ ℎ (T + V )ψ(r ) = Eψ(r )
正交平面波 得到 九2 a(k+knl2m (k+Kn)2-E(k)Ilk+kni)+vlk+Kni) +>(E(k)-Ec)lvchvclk+Khii 将(k+Kn作用上式,求得待定系数的线性方程组 九 e a(k+ kn/l/ 2m(k+kh)2-E(k) Skh, K,+(k+knlUlk+kn7=0 其中 U=V+(E()-E2))a
正交平面波 • 得到 � ℎ′ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ′ � � ℏ2 2𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ)2 − 𝐸𝐸(𝑘𝑘) |𝑘𝑘 + 𝐾𝐾 ⟩ ℎ′ + 𝑉𝑉|𝑘𝑘 + 𝐾𝐾 ⟩ ℎ′ + � 𝑐𝑐 (𝐸𝐸 𝑘𝑘 − 𝐸𝐸𝑐𝑐) �𝜓𝜓 �𝑐𝑐 𝜓𝜓𝑐𝑐 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ′ = 0 将 k + Kh 作用上式，求得待定系数的线性方程组 � ℎ′ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ′ ℏ2 2𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ)2 − 𝐸𝐸(𝑘𝑘) 𝛿𝛿𝐾𝐾ℎ,𝐾𝐾ℎ′ + 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ|𝑈𝑈 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ′ = 0 其中 𝑈𝑈 = 𝑉𝑉 + � 𝑐𝑐 (𝐸𝐸 𝑘𝑘 − 𝐸𝐸𝑐𝑐) �𝜓𝜓 �𝑐𝑐 �𝜓𝜓𝑐𝑐 |
正交平面波 由方程组有解条件,得到决定能量本征值的久期方程 九 det em (k+kn)2-E(K OKn.,+>(k+ K.lUlk +Kh=0 原则上,该行列式也是无穷阶的,但是由于正交化平面波已经很像晶体 中的布洛赫波,往往只要取少数几项就足够了
正交平面波 • 由方程组有解条件，得到决定能量本征值的久期方程 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ℏ2 2𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ)2 − 𝐸𝐸(𝑘𝑘) 𝛿𝛿𝐾𝐾ℎ,𝐾𝐾ℎ′ + � ℎ′ 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 𝑈𝑈|𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ′ = 0 原则上，该行列式也是无穷阶的，但是由于正交化平面波已经很像晶体 中的布洛赫波，往往只要取少数几项就足够了
正交平面波 如果只取一个正交化平面波去构造导带电子的布洛赫波,得到 lpk=a(k)[lk)-x c lk) 其中 Nn lc) elk.Ripu(r-RD) 1/3 Pis(r) e aB B 得到金属锂的电子能谱 E(k) (K Hyk l klapka
正交平面波 • 如果只取一个正交化平面波去构造导带电子的布洛赫波，得到 �𝜓𝜓𝑘𝑘� = 𝑎𝑎 𝑘𝑘 [|𝑘𝑘⟩ − �𝜓𝜓𝑘𝑘��𝜓𝜓𝑐𝑐 |𝑘𝑘⟩] 其中 |𝑘𝑘⟩ = 1 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑟𝑟 �𝜓𝜓 �𝑐𝑐 = 1 𝑁𝑁� 𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑅𝑅𝑙𝑙𝜙𝜙1𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑟𝑟 − 𝑅𝑅𝑙𝑙) 𝜙𝜙1𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑟𝑟 = 1 𝜋𝜋 3 𝑎𝑎𝐵𝐵 3 2 𝑒𝑒 − 3 𝑎𝑎𝐵𝐵 𝑟𝑟 • 得到金属锂的电子能谱 𝐸𝐸 𝑘𝑘 = 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝐻𝐻� 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘