一次矩x-x=x-x=X-X≡0 二次矩(x-x)2=∑Px)x-x)2 对于二次矩有:(x-x)2=x2-2x+x2=x2-2x+x2=x2-x20 它是随机变量偏离平均值的度量,又叫色散,其平方根为均方差。 2、连续随机变量及其分布函数的概念 对于连续随机变量,随机变量的个数无穷大,因而在有限次数 实验中得到任何变量的概率度为0。 例如醉鬼问题。我们不能测量在R距离找到醉鬼的概率,能够 测量的是在随机变量区间R-R+AR找到醉鬼的概率。 需要定义新的函数:分布函数(概率密度)
一次矩 x − x = x − x = x − x 0 二次矩 − = − i i i x x P x x x 2 2 ( ) ( )( ) 对于二次矩有: ( ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 x − x = x − xx + x = x − xx + x = x − x 它是随机变量偏离平均值的度量，又叫色散，其平方根为均方差。 2、连续随机变量及其分布函数的概念 对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数 实验中得到任何变量的概率度为 0。 例如醉鬼问题。我们不能测量在 距离找到醉鬼的概率，能够 测量的是在随机变量区间 Ri − Ri + Ri 找到醉鬼的概率。 Ri 需要定义新的函数：分布函数（概率密度）
以伽尔顿板实验为例 设粒子总数为N,i为小槽的序 号,N为落入第个小槽的粒子数,A 为落入第个小槽的粒子所占的面积 (或体积),其宽度为△x,高度为h, N=∑N=C∑4=C∑hA 粒子落入第个小槽的概率为 △P N_A1_h2△ (d) 细化△x→Cb h(x)dx h(x)d
以伽尔顿板实验为例 设粒子总数为 N，i 为小槽的序 号，Ni为落入第i个小槽的粒子数，Ai 为落入第i个小槽的粒子所占的面积 （或体积），其宽度为xi，高度为hi， 则 = = = i i i i i i i N N C A C h x 粒子落入第i个小槽的概率为 = = = i j j i i i i h x h x A A N N Pi 细化 x dx = = h x dx h x dx N dN dp ( ) ( )
令(x)=如)_dP 分布函数 (x )dx dx 分布函数为随机变量x处单位区间内的概率,所以分布函数又称 为概率密度。 连续随机变量的特征数值 归律:∫(x)tx=1平均值x=x(x) 例:平均能量 对力学量G()G=G(x)()k=(x)(x 均方差:口=V(x一对)=x2-x2,x2=∫x3(x
dx dP f x h x dx h x = = ( ) ( ) 令 ( ) 分布函数 分布函数为随机变量 x 处单位区间内的概率，所以 分布函数又称 为概率密度。 连续随机变量的特征数值 平均值： x = x f (x)dx 对力学量G=G(x) G = G(x) f (x)dx 归一律： f (x)dx =1 均方差： ( ) = x − x = x − x , x = x f (x)dx 2 2 2 2 2 例：平均能量 = (x) f (x)dx
、一些常见的分布 1、二项式分布(掷钱币,分配小球) 体积为Ⅴ的容器由隔板分为左右两部分,左边有n1个分子,右边 有n2个分子,n1+n2=N 微观概率:分子微观可分。若将分子编号以区分哪n1个在左边, 则共有2N中可能分布。记一个分子在左右两边的概率分别为p、q, 则n1个分子在左边,n2个分子在右边的概率为p"q”独立事件 宏观分布:分子宏观“不可分”(没有意义分)。共有N+1种宏观分 布方式:{N,0}{N-1,1},…,41,N-1}{0,N} 从N中取出n1个分子的方式为CM (N-)不相容事件 所以出现宏观态仰的概率则CNP分Nn
三、一些常见的分布 所以出现宏观态 {n1 , n2 } 的概率为 1、二项式分布 （掷钱币，分配小球） 体积为 V 的容器由隔板分为左右两部分，左边有 n1 个分子，右边 有n2个分子，n1+n2=N。 微观概率：分子微观可分。若将分子编号以区分哪 n1 个在左边， 则共有 2 N 中可能分布。记一个分子在左右两边的概率分别为 p、q, 则 n1 个分子在左边，n2个分子在右边的概率为 n1 n2 p q 宏观分布：分子宏观“不可分”（没有意义分）。共有 N+1 种宏观分 布方式：{N, 0}, {N-1, 1}, …, {1, N-1}, {0, N}。 从 N 中取出 n1 个分子的方式为 !( )! ! 1 1 1 n N n n N CN − = 1 1 1 ( ) 1 n n N n P n CN p q − = 独立事件 不相容事件
性质: 归一∑P(n)=∑ p"q=(p+q)=1 2n(N-n1) 平均值n=∑P(mn=p∑Rn)=p(p+q)y=pN ∑ 3(n1)n12=pp pp ar ∑Rn)=n2+Nm 涨落:a2=(M1)2=(-)=n12-n=Np,=√Npg 相对涨落:y△n)2=1(4)%相对洗落分子散射, 乳光现象
性质： 归一 ( ) 1 !( )! ! ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 = + = − = = − = N N n n N n N n p q p q n N n N P n 平均值 p q pN p P n p p n P n n p N N n N n N N + = = = = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1 P n n Npq p p p n P n n p N n N n N N = + = = = = 2 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 涨落： = (n ) = (n − n ) = n − n = Npq, = Npq 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 相对涨落: 2 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) p q n N n = 相对涨落：分子散射， 乳光现象