二项式分布的两个极限形式(N→∞) 当P≈q时,趋于高斯分布 f(x 22 Npq 由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布,实验误差, 当P→>0,NP|N=x时,趋于泊松分布 P2(n1) ~2 1 在空间或时间上的等几率事件。接电话,放射性蜕变,反应碰撞几率
二项式分布的两个极限形式 (N → ) 当 p q 时，趋于高斯分布 − = − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) x a f x x = n1 , a = n1 = Np, = Npq 当 p → 0, Np | N→ = 时，趋于泊松分布 − = e n P n n ! ( ) 1 1 1 在空间或时间上的等几率事件。接电话，放射性蜕变，反应碰撞几率...... 由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布，实验误差
2、高斯分布 无规行走(醉鬼) 质点自原点出发在O-xy平面内无规行走,步长不限,取向等概率, 且后一步与前一步无关,经N步后,质点出现在位置(x,y)附近 dxdy面元内的概率为 dP(,y)=f(, y)dxdy 意义:<>做多次无规行走试验,走N步后,质点落在dxdy内的次数占总实验次 数的比率;<>大量质点同时从原点出发作无规行走,走N步后,落在dxdy内的 质点数占总质点数的比率。 分布函数f(xy)的确定 各向同性(旋转不变性)醉鬼向哪个方向行走是随机的。 f(x,y)=f(x2+y2)
2、高斯分布 无规行走（醉鬼） 质点自原点出发在 O-xy 平面内无规行走，步长不限，取向等概率， 且后一步与前一步无关，经 N 步后，质点出现在位置(x, y)附近 dxdy面元内的概率为 dP(x, y) = f (x, y)dxdy 意义：<i> 做多次无规行走试验，走N步后，质点落在dxdy内的次数占总实验次 数的比率；<ii> 大量质点同时从原点出发作无规行走，走N步后，落在dxdy内的 质点数占总质点数的比率。 分布函数 f(x,y) 的确定 各向同性（旋转不变性） 醉鬼向哪个方向行走是随机的。 ( , ) ( ) 2 2 f x y = f x + y
方向独立醉鬼向哪个方向行走是独立的。 f(x2+y2)=g(x2)g(y2) 分布函数延径向指数减小(假设,不能从推理来,只能从试验来 aInf(x2+y2) oIng(x aIng(y C (x2+y2) 解方程得 8(x)=cxe g()=Cye, f(x, y)=Ce-a(xty) C由归一化条件确定: ∫je dxdy=clea dedr=1 与均方差有关: R=(r-r r=e dedr →c 20 20
分布函数延径向指数减小 （假设，不能从推理来，只能从试验来） = = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 l n ( ) l n ( ) ( ) l n ( ) y g y x g x x y f x y ( ) , 2 2 x x g x C e − = ( ) , 2 2 y y g y C e − = ( ) 2 2 ( , ) x y f x y Ce− + = 方向独立 醉鬼向哪个方向行走是独立的。 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f x + y = g x g y 解方程得 C由归一化条件确定： = = = − + − C e dxdy C e d dr C x y r 1, 2 2 2 ( ) 与均方差有关： 2 2 2 2 2 1 , 2 1 ( ) 2 = − = = = − r r r e d dr r
f(r)= e 202 2兀0 如果概率密度最大值不在r=0初,而在r=m处,则分布函数为 f(r)= e 2丌o σ表示实验数据的可信程度。实验数 据在(μ-,+0的几率为 uto 0 (x )dx P(a)=68%,P(2a)=954%,P(3)=997%, P(4a)=999936%,P(5σ)=99.99994
如果概率密度最大值不在 r=0 初，而在 r=m 处，则分布函数为 2 2 2 2 1 ( ) r f r e − = 2 2 1 2 1 ( ) − − = r f r e 表示实验数据的可信程度。实验数 据在 (−,+) 的几率为 + − = P f (x)dx (4 ) 99.9936%, (5 ) 99.999994% ( ) 68%, (2 ) 95.4%, (3 ) 99.7%, = = = = = P P P P P
第三节近独立子系统的最概然分布统计物理的基础。所有物理系统 Maxwel| -Boltzmann distribution)的统计规律都以它为出发点。 、基本概念 微观状态。以二项分布中的小球方法为例。小球微观可分,N个 小球有2N种排列方法。我们说这个系统的微观状态数有2N个 宏观状态。将任意一对小球调换一下位置,系统的宏观状态不发生 变化。从这个意义上说,小球是宏观不可分的。系统的宏观状态数 为N+1个。 每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。 在小球的例子中,系统的宏观状态为: Mi 0(11,2n2 ,n1+n2=N n,!n
第三节 近独立子系统的最概然分布 (Maxwell-Boltzmann distribution) 统计物理的基础。所有物理系统 的统计规律都以它为出发点。 一、基本概念 微观状态。 以二项分布中的小球方法为例。小球微观可分，N 个 小球有 2 N 种排列方法。我们说这个系统的微观状态数有 2 N 个。 宏观状态。将任意一对小球调换一下位置，系统的宏观状态不发生 变化。从这个意义上说，小球是宏观不可分的。系统的宏观状态数 为 N+1 个。 每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。 在小球的例子中，系统的宏观状态为： n n N n n N n n = 1 + 2 = 1 2 1 2 , ! ! ! ( , )