第二章平衡态系统的统计分布率 (Statistics in equilibrium systems) 第一节无序系统( disorder system) 热学系统微观运动的无规律性,使得我们不能用确定性的物理语 言去描述。(例:三体间题) 如果系统的微观运动是完全无序的(平衡态),它正好能用另 外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。 在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规 律,就是平衡态系统的统计规律。 判据:统计规律的宏观表现应符合试验结果。(例:状态方程,扩 散方程)
第二章 平衡态系统的统计分布率 (Statistics in equilibrium systems) 第一节 无序系统 (disorder system) 热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语 言去描述。（例：三体问题） 如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好能用另 外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。 在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规 律，就是平衡态系统的统计规律。 判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩 散方程）
例一、醉鬼问题 个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走, 我们想知道他走了M步后里路灯的距离。 基本假设:醉鬼走的方向完全不可预计。 设XY是醉鬼第i步位移在X,Y方向上 的投影,在第M步后,他离路灯距离R 为: R2=|∑X+∑ A1+X2+….+XM 2=X2+X,X2+X1X2+X2+X1X2++X X完全随机,X与X完全独立。<X>=0,<XX>=0 R2=∑(X2+x)=M设醉鬼的步长为1R=√M
例一、醉鬼问题 一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走， 我们想知道他走了 M 步后里路灯的距离。 基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。 设 Xi , Yi 是醉鬼第 i 步位移在 X, Y 方向上 的投影，在第 M 步后，他离路灯距离 R 为： 2 1 2 1 2 + = = = M i i M i R Xi Y 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ... ... X + X + + X M = X + X X + X X + X + X X + + X M Xi 完全随机，Xi 与 Xj 完全独立。 Xi = 0, Xi X j = 0 = = + = M i R Xi Yi M 1 2 2 2 ( ) 设醉鬼的步长为1。 R = M
讨论 统计性质。计算只能给出醉鬼最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在R=√M的位置上找到醉鬼, 而只意味着在这些位置上找到他的 几率最大。这并不排除在其他位置 上找到醉鬼的可能性。 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动,在√M位置上找到 醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。 统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为,必须在计算中引入 计算的不确定性。 统计误差的规律:OR∝1/NN为醉鬼个数
讨论 统计性质。计算只能给出醉鬼最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在 的位置上找到醉鬼， 而只意味着在这些位置上找到他的 几率最大。这并不排除在其他位置 上找到醉鬼的可能性。 R = M 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在 位置上找到 醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。 M 统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入 计算的不确定性。 统计误差的规律： R 1/ N N 为醉鬼个数
统计规律。微观上(单个进程)千变万化,宏观上(重复进行) 有一定数值和规律的现象为统计规律。 如:理想气体的压强、温度、等等 伽尔顿板实验 过程:(重复)两步: (1)单个小球下落 (2)多个同时下落 结果: 第一步,完全随机。第二步,有规律分布
统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行） 有一定数值和规律的现象为统计规律。 伽尔顿板实验 过程： （重复）两步： (1) 单个小球下落 (2) 多个同时下落 结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。 如：理想气体的压强、温度、等等
例二、布朗运动( Einstein1905, Smoluchowski1906, Langevin1908) 基本图像:粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。 牛顿定律: dr 6m,+F(t) 对直角坐标系中任一方向,记S=x,y,z 6m,+F( dt 条件:F()=0,号m()2=k7自由能均分原理 数学技巧 d(s ds S S 2d2(a d2做平均后=kT做平均后=0 S sF(t-3ran a s dt
例二、布朗运动 (Einstein 1905, Smoluchowski 1906, Langevin 1908) 基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。 牛顿定律： 6 ( ) 2 2 F t dt dr a dt d r m = − + 对直角坐标系中任一方向，记 s = x, y,z 6 ( ) 2 2 F t dt ds a dt d s m = − + s 条件： F (t) = 0, s m kB T dt ds 2 2 1 2 1 ( ) = 自由能均分原理 数学技巧： 2 2 2 2 2 2 2 ( ) dt d s s dt ds dt d s + = dt d s sF t a dt ds m dt m d s s ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 = − − 做平均后=kBT 做平均后=0