第十一题: 如图,△ACB与△ADE都是等腰直角三角形,∠ADE=∠ACB=90°,∠CDF=45°,DF 交BE于F,求证:∠CD=90° 证明:只要证明△CDF是等腰直角三角形时,E、F、B 共线即可 设C=0,B=1,A=1,D=x+y(x,y∈1),则 AD=D-A=x+(-1), AE=√ADe+=√2x+(-1)2(1-)=x+y-1+0-x-1) ∴E=A+AE=i+x+y-1+(-x-1)=x+y-1+(-x ∴DF F=D+DF =x +yi+-(x-yi).(1+i) (r +y)+-x )i ∵E+B=x+y+(y-xy=2 ∴F是EB中点,∴△CDF是等腰直角三角形,∠CFD=90°。 第6页共35页
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第十二题: 已知:△ABC中,∠CBA=2∠CAB,∠CBA的角平分线BD与∠CAB的角平分线AD相 交于点D,且BC=AD。求证:∠ACB=60 简证:作∠ABD的平分线BE交AC于E, 易得四边形ABDE是等腰梯形 ID= BE, BC= BE ∠C=∠CEB=s∠ABE ∠CBE=s∠ABE ∴△BCE为等边三角形 ∠ACB=e B A 第十四题: 已知:△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,过D作DE⊥BC于E,连接AE,取DE 中点F,连接BF。求证:AE⊥BF 简证:Rt △BDE∽ DCE BD DO C DE C BDBD C A( DE CE CE,△BDF∽△ACE ∠DBF=∠CE,∴A、D、G、B四点共圆。 ∠BG=∠BD=90°,AE⊥BF。 第7页共35页
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第十五题: 已知:△ABC中,∠A=24°,∠C=30°,D为AC上一点,AB=CD,连接BD。 求证:AB·BC=BD·AC 简证:以AB为边作正三角形(如图) 由∠C=30°得OC=OB ∠BOC=2∠BC=48° ∠AOC=108°,∠OCD=86° OC=OD,∠COD=79° C ∠BOD=24 △ABD≌△OBD,∠ABD=30° △ABD∽△ACB,AB·BC=BD·AC 第十六题: 已知:ABCD与ABC1D均为正方形,A2、B2、C2、D2分别为A4、B1、CC1、DD 的中点。求证:A2B2C2D2为正方形 简证:只要证明△A2B2C2是等腰直角三角形即可。 =i,B1=b,C1=c(b,c∈),则 A1=B1+(C1-B1)=b+(c-b 2 B+B. b C+O C BC2=(C2-B2)= 2 B242=A2-B2 i+(c-b)i+bb c-b+l 2 2 ∴B2C2⊥B2A1,|B2C2=|B2A2 第8页共35页
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第十七题: 如图,在△ABC三边上,向外做三角形ABR、BCP、CAQ,使∠CBP=∠C4Q=45°, ∠BCP=∠A(Q=30°,∠ABR=∠BAR=15°。求证:RQ与RP垂直且相等。 简证:以BR为边作正三角形(如图) 则△OR是等腰直角三角形, △OB∽△PCB,△OBP∽△ABC △ORP≌△RQ ∴Q=BP,BQ⊥RP 第十八题: 如图,已知AD是⊙O的直径,D是BC中点,AB、AC交⊙O于点E、F,EM、FM 是⊙O的切线,EM、FM相交于点M,连接DM。求证:DM⊥BC 简证:如图,过O作GH⊥DM △OGE∽△MDE,△OHFv△MDF OG OE OF OH ∴OG=OH DM MM DM IGDH是平行四边形,D是BC中点 ∴G、H分别是AB、AC的中点 ∴GH∥BC,DM⊥BC。 F B 第9页共35页
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第十九题: 如图,三角形ABC内接于⊙O,两条高AD、BE交于点H,连接AO、OH。若AH=2 BD=3,CD=1,求三角形AOH面积。 解:设HD=x,F是BC中点,OF=d 由R△ACD∽R△BHD得 2+x1 ,解得x= D=3,由OB=O得 2+d=√3-d)2+1得d=1 ∴OHDF为正方形,OH=1 LE 三角形AOH面积为-×2×1=1。 C 第二十题: 如图,∠DAC=2x,∠ACB=4x,∠ABC=3x,AD=BC,求∠BAD。 解:延长BC至E,使CE=BD,则 ID=DE,设∠E=t,则∠EAC=4x-t, 由AD=DE得6x-t=t,t=3x, ∴AB=EE,△ABD≌△AEC ∴AD=AC,∠ADC=4x, gx+4x+4x=180°,x=1 即∠BAD=18°。 D E 第10页共35
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