第占节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 两个重要极限 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1 imf(x)=A,V{xn}:xn≠,f(xn)有定义 n→>x0(n→>∞),有limf(xn)=A xX.→00 n→0 为确定起见,仅讨论x→>x0的情形 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn x0 n f xn A n lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x x 有 ( ) n f x x xn 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A.V{xn}:xn≠x0,f(xn) 有定义,且xn→x0(m→∞),有imf(xn)=A n→>00 证:>设limf(x)=A,即VE>0,3δ>0,当 x→>x0 0<x-x<8时,有f(x)-A<E V{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义,且xn→>x0(n→∞) 对上述δ,3N,当n>N时,有0<xnx<δ 于是当n>N时f(xn)-A<6 故 lim f(xm=a n→>00 可用反证法证明.(略) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
定理1. f x A x x lim ( ) 0 : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义, ( ) , 且 xn x0 n 设 lim ( ) , 0 f x A x x 即 0, 0, 当 0 , x x0 时 有 f (x) A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 ( ) , xn x0 n 对上述 , n N 时, 有 0 , xn x0 于是当 n N 时 f (x ) A . n 故 f xn A n lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.Iimf(x)=A,V{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 且xn→>x0(n→>∞),有limf(xn)=A (xn→>∞) n→>00 说明:此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠x,且xn→>x0(n→>∞) 使limf(xn)不存在 n→)O 法2找两个趋于x0的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
定理1. f x A x x lim ( ) 0 : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 ( ) , 且 xn x0 n lim f (x ) A. n n 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 : n x , 0 x x n ( ) , 且 xn x0 n lim ( ) 不存在 . n n f x 使 法2 找两个趋于 0 x 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x lim ( ) n n f x (x ) ( ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明 lim sin-不存在 →)0 证:取两个趋于0的数列 及 (n=1,2 2n兀 2n兀+ 有 Im sin= lim sin2nx=0 n→00 n→0 Im sin,=lim sin(2nT+2)=1 n→0 n→0 由定理1知 lim sin-不存在 x->0 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
例1. 证明 x x 1 lim sin 0 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 及 2 2 1 n xn 有 n n x 1 lim sin n n x 1 lim sin 由定理 1 知 x x 1 lim sin 0 不存在 . (n 1, 2,) lim sin 2 0 n n lim sin(2 ) 1 2 n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束