步骤如下： z=f(x,y) 1.分割 D任意分成n个小闭区域△1， △o2,",△0n, 其中△σ；表示 第个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为△ (5,) 2.取近似 在每个△o；上任取一点(5，n),△V≈f(5i,n:)△oi 3.求和 V≈∑f5,ni)△c1 i=1 4,取极限 V=lim∑f(5,ni)△oi, λ→0i-1 九=max{△o1,△O1,…,△on
步骤如下： x z y o D z f(x, y) 1. 分割 D 任意分成 n 个小闭区域 1 ， , 2 … ， , n 其中 i 表示 第 i 个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为 . Vi 2. 取近似 在每个 i 上任取一点 ( , ) i i ， ( , ) i i i V f i . 3. 求和 ( , ) . 1 i i n i i V f 4. 取极限 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f max{ , , , } 1 1 n i ( , ) i i
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D,在点 (x,y)处的面密度为p(x,y),假定p(x,y)在D上连 续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 (5,7:) 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 X M=lim p(5,iAo1 2>0=1
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点 ( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在D上连 续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i x y o i ( , ) i i
二、二重积分的概念 定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域 D任意分成n个小闭区域△o1,△o2,…,△om,其中 △σ；表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每 个△o;上任取一点(5，n:),作乘积f(5,n)△oi, (i=1,2,…,n),并作和 ∑f(5,n)△o:, i=1 如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋近于零时， 这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭 区域D上的二重积分，记为∫f(x,y)do,即 D fff(x,y)do=lim∑f(5,7)△o; 20i=1
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 ， , 2 …， , n 其中 i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每 个 i 上任取一点 ( , ) i i ，作乘积 ( , ) i i f i ， (i 1,2,, n)，并作和 i i n i i f ( , ) 1
面积元素 ∬fxy)可 = 1im∑f(5,n:)△oi 2→0 i=1 积分区域 被积函数 积分变量 f(x,y)do 被积表达式
n i i i i D f x y d f 1 0 ( , ) lim ( , ) f (x, y) d
对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的 (2)二重积分值仅与f(x,y)及D有关，与积分变量符 号无关，即 f(x,J)do=∬f(,v)do D D (3)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (3) 当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： (2) 二重积分值仅与 f (x, y)及 D 有关，与积分变量符 号无关，即 D D f (x, y)d f (u,v)d