(①)用曲线将D分成n个小区域D,D2,Dn 每个小区域D,都对应着一个小曲顶柱体 如图 2=f(x,y) z=f(x,y) D D
(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1 , D2 ,…, Dn , 每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) 0 y z x z = f (x,y) Di D Di
()由于D很小，乙=f化，y)连续，小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体. =f(x,v) V(5i,7)eD. 小平顶柱体的高=f(5,). 若记△o:=D的面积. 则小平顶柱体的体积 =f(5i,)△o;≈小 曲顶柱体体积 f(5,7) (5,7
(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小 曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i) Di z = f (x,y)
因此，大曲顶柱体的体积V≈∑f(5,7,)△o, 1 分割得越细，则右端的近似值越接近于精 确值Y,若分割得"无限细"，则右端近似值 会无限接近于精确值Y. 若1im∑f(5,n,)Ao, 存在 则V=lim∑f5,n)Ao
(iii)因此, 大曲顶柱体的体积 n i i i i V f 1 ( , ) 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精 确值V, 若分割得"无限细" , 则右端近似值 会无限接近于精确值V. 1 lim ( , ) n i i i i f n i i i i V f 1 lim ( , ) 若 存在 则
(iv)记2=max{D,的直径}， l≤isn 其中D的直径是指D,中相距最远的两点的距离. 如图 X 则V=li 2-→ ∑f5n)Ao, 21 D 其中(5，)eD,△o,=D,的面积
(iv) max{ }, 1 记 i的直径 i n D 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. lim ( , ) , 1 0 n i i i i V f 则 其中 ( i , i) Di , i = Di的面积. x y Di 如图
求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限。 ↑zz=f(x,y) (5i,7i) △o
x z y o D z f ( x, y) i ( , ) i i 求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限