同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.2）洛必塔

3-3x+2 例1求m 型 r-13 x+1 解:原式=1m3x-3 x13x2-2x-1 6x lim x→16x-22 注意:不是未定式不能用洛必达法则 6x lim ≠im x->16x-2x-16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 =  x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求加m2- arctan x 型 x→)+O 解:原式=lim X→)+∞ 型 lim lim x->+∞1+x x→>+0+/ 思考:如何求im2- arctan n为正整数)? n→> HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味

例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − →  ( n 为正整数) ? 型   机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、一型未定式 定理2. 1)limf(x)=liF(x)=∞ x→a x→a 2)f(x)与F(x)在∪(a)内可导,且F(x)≠0 3)1im)存在或为∞) x→>aF(x) f(x)=lim/(x) wF(x)xh(x)(洛必达法则 证:仅就极限lnf(x) 存在的情形加以证明 x-a F(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、   型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a   = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,  

1)1n(x)≠0的情形 型 x→a F(x) F(x) i F(r) X lim F F( m x→a X→>a x→a f(x) f2(x) f(x)F(x lim/(r))2 =1i0、F(x)f(x)」xNF(x)x>af(x) lir X→ 1= lim f(x). lim F(x) x→>aF(x)x→af(x) 从而1im(x) lim f'(x) x→a F(x) x-a F(x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

1) 0 ( ) ( ) lim  → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x  − ( ) ( ) 1 2 f x f x  −               = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a         = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a    =  → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 从而 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)lim f(x 0的情形.取常数k≠0 x>a F(x) lim( f(x)+k= lim f(x)+kF() xX→)a F(x) x→aF(x) lim f(x)+kF(x) k≠0,可用1)中结论 x→a F() lim/(x)+kF(x) lim f(x+k x→a F(x)x→LF'(x) lim (x)=lim f(x) x→>aF(x)x→xaF(x) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动 上页下页返回结味

2) 0 ( ) ( ) lim = → F x f x x a 的情形. 取常数 k  0 , = k  0,     +   → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a   +  = →       +   = → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a    = → → 可用 1) 中结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束