故2-A=0,得=0或 又因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵C,使 由于C是可逆矩阵,故R(CAO=R(A),即CAC主对角线上1的个数等于R(D 例3设 求正交矩阵C使CAC为对角形 解(1)求特征值 J2E-AE A(-4) 特征值为=0(三重),2=4 (2)求特征向量 求4E-X=0的基础解系 1111 解之得基础解系 (-1,1,0,0)y,a2=(-1,0,1,0)y,a2=(-1,0,0,1) 将1,a2,a正交化
故 0 2 − = , 得 = 0 或 = 1. 又因为 A 是实对称矩阵, 所以存在正交矩阵 C, 使 = 0 0 1 1 C AC T 由于 C 是可逆矩阵, 故 R(C AC) R(A) T = , 即 C AC T 主对角线上 1 的个数等于 R(A). 例 3 设 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 求正交矩阵 C 使 C AC T 为对角形. 解 （1）求特征值 ( 4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | 3 = − − − − − − − − − − − − − − − − − − = E A 特征值为 0 1 = （三重）, 4 2 = . （2）求特征向量 求 [1E − A]X = 0 的基础解系 = − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 x x x x 解之得基础解系 T T T ( 1, 1, 0, 0) , ( 1, 0, 1, 0) , ( 1, 0, 0, 1) 1 = − 2 = − 3 = − 将 1 2 3 , , 正交化：
B1=a1=(-1,1,0,0) B2=a2 B1=( (B1,B (a3,B1)a(a3,B2) 111 (B,B(B,B2) B2=( 再将月1,B23单位化 0,0) y B2 B2=( y P3 n3=√ 解L2E-Y=0,即 0 解之,得基础解系 c4=(1,1,1,1) 将a4单位化 2222
T ( 1, 1, 0, 0) 1 =1 = − T , 1, 0) 2 1 , 2 1 ( ( , ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 = 2 − = − − T , 1) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 = 3 − − = − − − 再将 1 2 3 , , 单位化： T , 0, 0) 2 1 , 2 1 ( 1 1 1 1 = = − T , 0) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 1 2 2 2 = = − − T ) 2 3 , 6 3 , 6 3 , 6 3 ( 1 3 3 3 = = − − − 解 [2E − A]X = 0, 即 = − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 4 3 2 1 x x x x 解之, 得基础解系 T (1, 1, 1, 1) 4 = 将 4 单位化： T = = 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 1 4 4 4 （3）令