I]≤1(3)0<g≤94证设取0,1，"，9诸值，均存在整数，使yo<<o+1郎使0≤L<1，故以上面的q+1对值（ai，ui)，…(aa+1，yu+1)代入L，对应得出9+1个L的值Li，，La+且0<1，=，，十，于是对下列9个半开的区组r+1 r=0, 1,,9-1说，至少有个区组落入两个L的值，不失一般，可设为I=—910，Lg=g-0，992，故有[a1-g (u-)8] <19令a=2，=91-2,且0<y≤,故(3)成立.证完推论有无穷多对整数，9适合不等式la-go]<1(4)2证由(3)便知有整数a，1，适合(4)。取整数91>1,i使1<|-e/1911由引理1，存在整数对，a，适合11[a-g]<9/2q1再取92>1，使11-9201qa再由引理1，存在整数对αs，9s，适合[ag-9s0] 1192Ya如此不断作下去，因为.19
[α1-910]>[ag-920]>[ag-Y99[>.故，（31，2，3，）是不同的整数对，即知有无穷多对整数对，（-1,2,3,）适合（4)式，证完引理2设D不是平方数，D>0，则存在无穷多对整数，9，使得1a"-Dy|<1+2VD证在(3)中取0-√D，由引理1的推论知存在无穷多对整数α，y>0，使得下式满足la-ge]1y又因[+yo|α-yo+2g|-o|+2o<1+24VD,y把上两式两边相乘，故有无穷多对整数，9>0，满足 [a2-g0 =12-gD <+2VD<2VD+1.证完.引理8设D不是平方数，D>0，则存在整数石，0<码<1+2VD，使得- Dy"- k(5)有无穷多组整数解，9.证因为绝对值小于1十2~D的整数只有有限个，而引理2告诉我们有无限多对整数，9，满足一D<1+2/D,因此有整数k，1<1+2~D,使得(5)有无穷多组整数解，又因D不是平方数，故Dg≠0，即1>0证完.因为适合（5）的解在α=0或y=0时只有有限组，故得: 20:
推论设D不是平方数，D>0，则存在整数，0<石<1+2VD，使得（5)有无穷多组整数解a>0，9>0定理1的证明：首先证明（1至少有一组解α，9≠0.引理3的推论告诉我们，（5)的解>0，y>0有无穷多组，因而其中至少存在两组不同的解(,）（ag,），≥0>0a>0>0且满足(6)ai=az(mod|b]),i=ya(mod[b[),于是有(ai-Dyi)(a-De)-(iwa-Dyia)(7)D(aiy2-ay1)* h2,令ag-Dyiy-X，ia—waiYh，由(6)g-Dyiyea-Dyi-h=0(modh),W1y2— 429/1= a2/2 — αs9/2- 0(mod / hl),故，是整数，而且+0，否则，由2=，可设aa=t,>0,将aat, Y12，代入(6)得Y2"(-D2),因此=1与（)≠（a2,9)矛盾，由7)得出X2-DY*-1,故X，Y是(1)的一组解，且Y0.不失一般，可设X>0,Y>0.设o,o是(1)的基本解，记=o+90VD,则满足(8)我十VD=”,m>0的a，y是(1)的解，这是因为对于任给的整数n>0,记agVD，则有一VD，-D（88)1故给出(1)的一组解≥0,9>0,又因8>1,所以不同的给出的解也不同，邸知(8)给出无穷多组(1)的解0，90.反之，.21
(1)的任一组解α>0,y>0,可表为(8)的形状，否则，+VD>ao+aVD，必存在某个整数n>0，使得8"<&+yD<en+1上式两端乘以，得1<(α+yVD)"<,(+D)量u+VD型，显然，u，是（I)的一组解，由1于VD>1，故0-VDu+D<1.上两式相加得出2u>1>0，又2VD+~D-（u-VD）>11=0,故>0而+D<e,此与的选择矛盾.这就证明了(1)的全体解α>0，9>0,可表为（8).用这个结果，(1)的全体解<0，y<0，可表为lei+lylVD-",n>0,即(9)x+yVD--8",n>0,(1)的全体解<0,y>0,可表为[a+y~D-",n>0,即(10)e+yD--e-", n>0,(1)的全体解&≥0，y<0可表为+lyD-",n>0即(11)+VD8, n>0,由(8)、(9)、(10)、(11),以及(1)的平凡解=±1，9=0(这可表为8），就证明了（1)的全体整数解，9可表为（2)证完推论对于任意给定的整数&>0，（1)存在无穷多组解a，y，满足y=0(modd).22
证因D不是一个平方数，故一Dyi一1有无穷多组解a,1,而 a-d°Dgi=a-D(dyi)*=1,令=dy1,故(1)有无穷多组解a,y满足y=o(modd)定理1告诉我们，只要求出Pell方程-Dy=1的基本解，那么它的全体解，也就表示出来了，设6严十yo/D，o,9o是(1)的基本解，>0,>0是(1)的任一组解，则有先证否则有由D+1，D+1可得D+1>D+1，即得yo>，于是十VD<，与的定义矛盾，故，同理可证9o≤41，所以(1)的基本解也可定义为(1)的解>0,y>0中使最小的或使y最小的解因此，寻找（1)的基本解，可以用试验的方法，令9一1，2，3，4，，直到1十Dy2是一个完全平方，即可求出基本解，然而，这种方法，有时计算十分允长．例如，一94y-1的基本解是w-2543296，yo-221064，还可以把D展开为连分数，来求基本解11对于某些特殊的值，a一Dy-1的基本解可以立刻得出，例如Pell 方程-- (-1)-1, >1,显然，其基本解为8u+/-I我们还可以证明定理2设，是正整数，满足（1），且有1-1,(12)2则&+"/D是(1)的基本解证如果=1，由最小可知定理显然成立。现设ε[1]华罗庚，数论导引，科学出版社，1975，第十章，*23