+VD是(1)的基本解，则有I≤yo<n，从而-1-1D--yan和m(+Dy)(-D)-吖-%->0故om+yo5=d,xom-Yo5-da,dda=d,d>0,dg>0dr-dgd-1%-11C于是，2-1.02nyo2yo29o与(12)矛盾，故8=+VD.证完推论设o≥0,u>0,D=(m+2)，则1+ye+yoD(13)是(1)的基本解，证显然专-1+wo，m=go满足-D1，且满足(12)式，故(13)是(1)的基本解。证完。82 Pell方程ac2-Dy=-1形如a-Dy=一1的方程也叫Pell方程，它比Pell方程-Dy1要复杂一些，例如，当D含有4%+3形状的素因数或D=4h时，容易证明2-Dy-1无解然而，决定2-2py"=—1(p=1(mod4)是素数）是否有解就不是容易的事。一般地，我们有定理1，设D是一个正整数且不是一个完全平方，如果方程(1)-D-1.24:
有解，且设D2=-1,a>0,6>0是所有>0,>0的解中使a十yVD最小的那组解（a，b叫做(1)的基本解)，则(1)的全部懈(有无穷多组），9，由#+9VD-±(a+VD)2n+1(2)表出，其中M是任意整数，且(3)g--YVD-(a+5~/D)其中o,yo是a-Dg=1的基本解证设（bD）+D，由α-VD）=-D，故-D（a-D)a--1)-1，郎是Dy"-1的一组解。现在证明(3)给出了aDy=1的基本解，如果（3不成立，则另有基本解(4)1<a+yoVD<(a+bVD)*1由含+*-a+D>0,由(4)得-a+bVD<(αoVD)(-a+bVD)<a+bD,(5)令(+VD)(-a+bVD)-a+VD其中a-ao+yobD, -ob-Yoa,面 aDb=a-2oYoabD+yD b2D+ 2aoyoabD-- yha*D=(a-Db) +yD(D3-a)=(—Dy)(a—D6)=一1,于是，(5)可写为0<a+bVD<a-+bVDa+bVD,b+0,(6)显然由于-D-）如果1<a+bVD，则有(7)1<a+D<a+bVD取α+~D倒数，有(8)0<-a+万<1由(7)和（8）可得60和2aa+6D-（a+VD）>:25:
1-1=0,即α0,此与a+6VD的定义矛盾如果α+bVD<1,则由（6)有1≤-e+D<a+b万和0<a+UVD<1,得">0,α>0,而（α)*D1,此仍与αD的选择矛盾，以上证明了（3)式成立对于任意的n，(2)式给出的α，9，显然是(1)的一组解.反之，设，9是(1)的任一组解，设(+9D)(-a+6VD)-a+yVD(9)其中aa+bgD,y--ay+br从而(a-yvD)(—a—bVD)=一yD，与(9)式两边相乘可知，,y是Dy2一1的一组解，故由上节定理1知z，9可表为x+VD-±（ao+yoVD）"，为整数由(9)和(3)得#+9VD-±(a+bVD)2+,n为整数,这就证明了（1)的全部解可表为（2）．证完定理2设p=1(mod4)是素数，购(10)α py -- 1有整数解，.证设o，o是一p1的基本解。显然，o，yo是一奇一偶，如果o=0（mod2），9o=1（mod2）则由一py-1得矛盾结果-1=1(mod4).因此只能=1(mod2)，t+1%=0(mod 2),再由与1 相差1 知,22-11. 又2+ 26
-10+1pi00-1Yo2244得-1ao4o+1pu一，从而9o=222(11)u>0, v>0,或00-100+1t2p，从而yo=2u22(12)u>0, w>0,(11)给出w-m-1,<o，与9o 是基本解即最小的选择矛盾。面一2t -- pv - -- 1,(12)得出故（10)有整数解=%，y，证完。推论（10)的全部解，，由w+-(u+p)n+表出，其中是任意整数，，由（12)给出证，设=a，-是（10)的基本解，由定理1知py的基本解有C+yo-(a+6/)a+p-2ab/故yo2ab，由(12)知yo=2u，推出u，6=.证完..下面给出一个2—2py=1(p=1(mod 4)),无解的例例Pell方程a-84=-1无整数解，y.1易知-34g-1的基本解为-35，o-6.若=件-b是-34y-1的基本解，由(12)有aoα+pb即a+3463=，20b=6，此不可能注意到这里345+3°.更一般地有下面的结果：定理8设是个素数，2p-+8,r=±3(mod8).27
s=±3(mod 8)，则222m2-1无整数解，9.下一章引入代数整数的定义后，不难给定理3一个简短的证明，初等的证明则可参看[1]，s3不定方程2-D=C本节研究不定方程(1)a-Dy"-0,其中D≥0，D不是一个平方数，c是一个不为0的整数设α=u，=是(1)的一组解，为方便起见，以下我们啡%+VD是(1)的一个解。特别地，出于u，±是(1)的解，故u一VD也是(1)的解再设8+tVD是(2)-- Dy? -1的任意一个解，则显然有(u+D)(s+tD)-us+D+(+）D也是(1)的一个解，这个解叫做与解α十VD相结合。如果记(1)的解u+D与(1)的解+VD相结合为#+VD~u+WVD,显然有1)对(1)的每一个解u+VD,有t+D~u+VD2)如果+VD~+VD,则+VD~u+D[u Iienen, V. H., The quadratic form a-apy, J. Number theory,10 (1978),10~15.*28