设（c22，，2）=Ca2>0，再由定理1的推论知，存在单位模变换/ g+210g+2]028+a8+8Q::Csaaa于是存在单位模变换把c22+2+….+C232变为C2228+2，110...000g+118+100s+2028+2(4)P-P,.:：Q.10Cas把(3)变为C11428+1, C21028+1+C2221+2,(5)0128+1+022s++.+0g3设c21-9022+021,0C21<02，显然存在单位模变换2+1, C28+2=—qa28+1+a2++2, 028+=a+h20+1j-8, ***, s,把(5)变为Cuu2a+1, 021aha+1+Caat2h+2, **, dgiaen+1+**+daa如此继续下去，因为每次施行都是单位模变换，故最后存在单位模变换(1)把L,(a)(r±1,"s)变为O1X,C2Xi+22X2,**, Xi+.+X.,0U/011X1[ arX11C22..C21DP!........n由于X.XasCs1Cea14:
C110220219故DP元Csfe邸得[D—C1-Css其中Crr≥>0, (r--1, ***, s); 0≤cr1, Or2, -*Or-1<0(r=2, ."", s).证完以上定理给出了8个线性方程组L,(a) -a1r +a122 +..-+aisg-n1,L()a2101+ag2g+...+2g-n2)(6)L,(a)ami +aa2+...+aa Wgng=0，，5=1，，8，DI>0的一个解法，同时，还可得到F（6）有解的充分必要条件，我们有定理2（6)有解的充分必要条件是对于任一个D1的因数M，同余式(7)L,(a)=n(mod M) ((r-1, 2, ."., 8)有解。证必要性是显然的，以下证明充分性9由定理1知，存在单位模变换X1(8)变(6)为15
CX,=m,CaiXi+c2eXg-ne:(9)GX1++CaX,-ne,其中 0>0(r 1, *-,8), 0≤0r1, Gg2 *,Cr,r-1<erm r-2, ",8,且[D-011-C*由于对[DI的任一个因数M，同余式（7)有解，故当M=C11C23,*，C时,由(8)GnX=n(mod cu)有解,故 ou na,即 Xi兴 是整数，由于同余式C11 (mod ca2), c21X1+ 02,=n2 (mod Ca)Xi=011nl + 0agX,n(mod 02)有解，即C21-011ni2—0611是整=0(mod 02a),故X2有解，即mz—021011022数，如此继续下去，可得(9)的一组解，即知(6)有解。证完。设1≤m<mm个联立方程组Ly-aiiai+...+ainon-0,La ai + .+ an an-O,. (10)Ln=dm1+...+amnen=0,其中a#(j-1，m,后I"，n)为整数．如果ai，"",an是（1)的一组解，记为向量形式X=（a1，，an），X称为(1)的一个解向量，我们有定理3（10存在解问量×=（a1，，am）￥0，且满足. 16
Iun/≤(A1A)(n-m) (h1, -, n).(11)这里Af-[ag]+[2]++[am/(j-1, , m).9证设N-[(AAn)n-m)]，B,表示a,,aju中正机数的和，一O,表示a，"，a中负数的和，故A-B+O（j=1,，m).当取遍区间[0,N中的整数值时（h-1,m)，可得出（N+1）”个不同的向量的集SS-{(y,", yn)[0<ghN, h=1, ", n),对S中的每一个向量，有-O,N≤Lyaiyi+...+amy,≤BN,故L,可取(B,+C)N+1=A,N+1(j1，，m)个不同的整数值，于是，当(y1，，9）跑遍S中（N十+1)"个向量时，最多可得出ⅡI(A,N+1)个不同的向量(L1，*，Lm)，因为可设A,=1(j-1,*,m),所以(A,N+)(AN+A)(N+I)"A,+而五(N+I)"=(N+1)"(N+I)"-m= (N+I)"((A1Au)(n-m) +I)"-m>(N+1)"I 4,≥I (A, N+1),fl四故至少存在S中两个不同的向量，设为，，），（i，*"y）对应于同一个向量（L，Lm），令一y一y（一，m)，X（，，）≠0就是（10)的一个解向量，而且[am] = [ k g/%[≤N≤(A*-An)/(o-m), h-1, *, n,故(11)成立证完。: 17:
第二章二次不定方程本章主要介绍二元二次不定方程，一般说来，二元二次方程的求解问题已经解决，此外，还给出三元二次方程几个典型的例子本章所讨论的Pell方程与代数数论中二次域的单位数有密切联系，在后面的某些章节中，我们还将看到Pell方用来解高次不定方程的例子，s1 Pell方程α2-Dy=1形如a-Dny=1的二元二次不定方程叫Pell方程，显然，对于D<0，或D是一个平方数的情形是容易求解的，本节将证明定理1设D是一个正整数且不是一个完全平方，则方程(1)2D1有无限多组整数解a，9.设%-Dg1，ao>0，o0，是所有a>0,y>0的解中使a+gVD最小的那组解（称(ao,yo)为(1)的基本解)，则(1)的全部解α，9，由(2)a+yVD±(ao+9oVD)"表出，其中π是任意整数。在证明这个定理之前，先证明儿个引理引理1设9是一个无理数，且g1是任给的个整数，设一，则存在整数a，y，使得:18: