得tiag=(+1)a+ (a2+1)a因（a1，a2）-1,可得/g+1,，aali+1,因为α+1>0,+1>0,故+1=a+12得aa2=(+1)a1+(+1)a2aa2此不可能，所以在n=a1α2—a1a时，(2)没有非负解1≥0,20，证完此定理可简述为：设（12)，a≥0，a≥0，凡大于2—1—的数必可表为十2(1=0=0)之形状，但-一不能表成此形状人们自然会提出这样的问题，对于般的s(s≥2)元线性型a+.+a>0(-1,",s)，（ai,,as)-1,是否存在一个仅与a1,"，ag有关的整数Nai，，g)，凡大于N(a,)之数必可表为aiai+十a(a0,1,*,3）的形状？问题的回答是肯定的，下面就来证明这个结果，定理2存在仅与a，，α有关的整数N(ai，，aa)，当n>N(a1，）时，(1)有非负解≥0,，≥0.证我们对施行归纳法。由定理1，8-2时定理显然成立设8一1个元时定理成立，我们来证明8元时的情形．设(a, , ag-)=d, ar-ad(-1, "", 8--1); 由 (ai, ", as)1可知(d,a)=1,从而可把(1)化成：存在0≤bd—1,使a,bg=n(moda).由(1)得dia1+ -+ d.1- n--.ba(8)d由于（αi，"，α)-1，由归纳假设，存在整数N(a，"9
d-), 当 "-αb≥n-a(a-1)>N(d, , aj-1) 时, (8)有dd非负解1-b1，，a-1-bs-1，即当n>dN(ai, ., a-i)+as(d-1)-N(ai, .*, as)时，(1)有非负解a1b1，，a-1=bs-1,g=bg证完这个定理还告诉我们，对8元（s2）线性型1十++aga,a>0(i-1,,s)（i,,a)-1,存在一个仅与a1,a有关的整数g(ai,…，a)，凡大于g(at，,as)之数必可表为a+.a(≥0,-1)的形状，而g(a,a）不能表为十十（=0-，，8)的形状，因此，称g（41，，）为所给线性型的最大不可表数．求出g(ui，，a）的问题，即所谓一次不定方程的Frobenius问题。由定理1知，8=2时，Frobenius问题已告解决：我们求得g(a，aa=a12—ai-az,但是，对于8≥3,—般地只找到了求出g(a1，，a）的一些算法。对于n=3,我们有定理3.ab1(4)g(a, b, o)cea,66-0-(a, b6)且当6aba(5)c.(a, 6)3(a, 6)(a, b)时,有ab(6)g(a,b, c)+c(a, b)-a-b-c.(a, b)显然，以上，b，心可以轮换证由2的(12)知，aa十by+c=的全部解可表为-o+bit1-21ota, 9Yo-ait1—u20t2, 2= 20+dt2,[1]柯召，关于方程αr++o=n，四川大学学报（自然科学版，1(1955),1~4,+10
其中co,9o,zo是aa十by=n的一组解，(a,b)d,亿=la,bdbr，,u满足ai十agt，t为任意整数，不难知道，可取整数动使0z+d-1对于这样的，还可以取适当的，使得0c1-1ab(a.)+c(a,b)-a-6-c 时,对于上面选定的红，，在有6(o --ait1- 22ct2) n-aa - czm-a(b1-)-c(d-1)-n-ab1-cd+a+oah-c(a, 6)+a+c>--b,(a, b)即得>或yyo-ait-nctam0这就证明了(4).ab1dar，现在，我们来证明由(5)可推出(6)式。由于(α, b)b,c(a,b)=cd，若设g(a,b，o)可表，即g(a,b,c)dabcd-a-b-a=as+by+c,则有(7d(ab1+o)dar(α+1)+abr(g+I)+c(z+1),由于,)-1，（7)式推出+1令1=，由2≥0,故>0,代入（7)并在两端消去d，得arbr+car(a+1)+bi(y+)+ck则有(8)aba(+1)+(y+)+(h-1),如果，由（a）=（8)式推出+.11
之1>0,-1>0,有+1=α1,+1≥b，这时(8)式给出矛盾结果ab=2ab1.如果>1，（8)式给出ab1≥1+61+c、与（5)矛盾，故（6)式成立、证完，从（5式及定理1，立刻可得：推论1如果（a,6)=1,c>g(a,)，则g(a, b, 0) =g(a, b).推论设==>0,>0,0,(, ±)-(μ, )=(, )1, 则g(a, b, o)=2nuy-nμ-uy-y证由于>μ2uu故有g(a, b, c) - Aμp + μya μ- μ aL=2μ-au-my-n例设a=12,6-13,c-28，由于!181212 × 13287(12, 13)2(12, 13)(12,. 18)不能成立，只能得出12×13g(a, b, c)+28(12,13)-12~13-28-131(12, 13)但始果将a，b，作如下轮换：a→→-→，用轮换所得公式,当Gaoab(c, a)2(c, a)(o, α)ca则g(a, 6, c) =g(c, a, 6)+6(a, 0)-起-6--0,(c, a)此时，*12*
281228×12187=21—7-3=11(28, 12)(28, 12)2(28, 12)28×12+13(28, 12) -28-12 13-83故g(a, b,c)(28., 12)即线性型12元+13g+28z的最大不可表数为8384联立一次不定方程组对于联立的情形，我们首先证明定理1设L(a)-aria++ag,(r-1,",s),auz0,，3-1，…，8，是8个整系数的线性型，设其系数矩阵D=（a)，且DI>0，刻存在单位模变换X1:(1).PX.变L,()(r-1,,s)为Xi,C2iXi+CX,gX+.*+0wX这里0>0(=1,, 8),0≤01, Gr2, ", r,r-1<0r =2, ",8. 且ID] -011*-Cs.证设1=（a1，*，a)>0，由$2定理1的推论知，存在单位模变换[0ig+]1++*=P(2).as228使L()(r1,，)变为C18+1,021g+1+22s+2+.+228y*,Caias+1(3)+oa++-+0a28,.13