《高等数学》上册教案 第二章导数与微分 §2.求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1、设u=(x),v=)均在点x处可导，则 (x)±x)=u'(x)±v'x): (xx订=u'(xhx)+(xh(x) [周e,om: 2() 证：设Fx)=(xx),利用导数的定义， Fk)小=飞+=▣+a6大a- △r Ar =画+ar,+aA-+ar+A(+ar,h】 =四+-k+ark±=kM片ee) 即F'(x)=(xhMx)+xhN(x),证得：u(x)(x)y=u(xx)+xwx)。 注：①不难推出，若c是常数，则：(c(x》=c'(x: ②此法则可以推广到有限个函数的积的导数，如 [u(xh(xm(x]=u(xh(xlu(x)+u(xhv(x)(x)+u(xh(x)(x) 利用法则和已有的导数公式，就可以进行简单的求导运算。 例1、设f)=压smx+ang,求f0,了孕： 解：间=6m时4mg-la+aj-效油+ax f(1)=Isin1+cosl 注：tam是常数，共导数等于零：f0≠Y,f(孕*/孕y。 倒2、)=anx,求f)及f受 解：6-mj=-血josx二eos_oc+m上=acxf经=2 cos2x 第6项一共28页 票永安
《高等数学》上册教案第二章导数与微分 即(tanx=sec2x,同理可得，(cotx=-csc2x。 例3、证明导数公式：(secx)=secxtanx及(cscx=-cscxcotx。 ee( 同理可得：(escx=-cscxcotx 例4、设f(x)=√tanx,求f'(x)。 解：)-m=(同ym+my-2器+Gae 例5、设fx)=xscx,求fx)。 解：e-e-号er+e-t+m 例6、设f(x)=x10*2,求(x)。 解：f'(x)=100x10'y=100(x)10+x00-y=10010+x10h10}=10010(1+xlh109 倒7、设s)=eisect,求s'0. :s0=tfse1+20c1+dise1iam1 练习一利用导数的四则运算法则，求下列函数的导数 y=2x2-3x2+4x+7:y=6r2-6x+4 yhs:y(hy-n r f(x)=3e'cosx:f'(x)=3(e'cosx)'=3e"(cosx-sin x) y=3x4-42+2e:y=(3x4-16'+2ey=12x2-16n16+2e (1+x)2 (1+x) :9.92 1+x2)3 二、反函数的求导法则 定理2、设x=p)单调、连续、可导，且'y)≠0，则其反函数y=f(x)存在且可导，有： 烹客可y宁 第7项一共28页 票来安
《高等数学》上册教案第二章导数与做分 证：对于反西数y=(x)的自变量的增量△x,由函数的单调性，当△r≠0时，△y≠0，再利 用x=0y可导，有 安一然生 11 例7、设函数y=arcsinx,上l,,求y'。 解：y=arcs血x,【川是函数x=s血y在受爱上的单澜连续的反函数，且x=s加y的导数 在(-受爱内不为本，由定理2的条件，则： 1 1 本帝(6m可osy-sin2y"- ←1) af立·时可：e-点（ 例8、证明：(ecam,长+a小 运：y=m,xe(+)是画纸x=my在ye(受受上的单调连续的反禹鼠，故 少=1」 票(tany)sec2y1+amy1+ p:aanj·长么w小：同理可得：6ceou,(么w 注：至此，所有基本初等画数的导数公式已全部推出： 暴函数：(x“y=a-: 对教、指数函数：(og.)=xha a=！(ary=arna(ey=e 三角反三角函数：((sin x)=cosx(cosx')=-sinx(tanx)'=sec2x (cotx)'=-csc'x (secx)'=secxtanx (cscx)'=-cscxcotx (arcsinx)'=- 看-京aosy= (-1,1) (aretanx)= 1 1 (arccotx)= (-0,+0) 阙9说-产子是421，康 第8项一共28页
《高等数学》上册教案第二章导数与做分 :y=2登号.0=-24-28+2=30，-0=24+28-2=0 例10、设y-3号本会 3lnx+x2 解：少-层+3r8hx+r)-仁+22hx+x-2x-3x2+9rnx-4xh dx (3nx+x) (3nx+x 三、双曲函数与反双曲函数的导数 因为ey=y=0d-=.e,则 e r-,e:ry=《eY_Ce=r,故ry=h:月理可得：err=sr: 2 2 :y=尝r-ycr恤.ix hr=边r」 ch'x ch'x ch'x 1 (y=ah（+w） 利用反函数的求导法则，可得反双曲函数的导数 arshr In(x):(arshey 1 archx=In(x+Vx2-1):(archx)'=- 20+w 1 a-h告 ((arth)=1文() 注：尽管已经了解了所有基本初等函数的导数公式，以及导数的四则运算法则，但是对于函 数y=six2,y=V1-x2等等初等函数的导数，还需要介绍其他的求导方法。 四、利用法则和导数公式求下列函数的导数 1、y=(2-3x)5-6x2)=10-15x-12x2+18x3:y=-15-24x+54x2 2.y=cosx.sinx y'=-sin2x+cos'x=cos2x 3.y=sin 2x =sin xcosx y'=cos2x 4.y=3x'e'cosx y=3(5x'e'cosx+xe'cosx-xe'sin x)=3e'(5x'cosx+xcosx-x'sin x) 5:y=arctanx+ 第9项一共28页 票来安
《高等数学》上册教案 第二章导数与做分 6.y=aresinx:y=aresinx+ arcsin.x V1-x2 7.y=xi(arcsinx-arccosx): 4 8y号+h3:y--22 x 1 1 9、yn:yxh 0y二由0. (l+cost)2 (1+cost)" y-fcsex-xcsexcot-csex)csex-xcscxcotx) 1+x22 1+x2)7 12.mcm(orcy) 1 arccosx (arccosxaresin x-arceosx 1 3、景：y-20+2- 1+x2)2 1+x2y 14、y=xshr+xchr: y'=(shx+chx)+x(chx+shx)=(I+x)(chx+shx)=(1+x)e 15,y=ch'x y'=(chx.chx)'=2shxchx 16.y=ch'x y'=(ch'x)'chx +ch'x(chr)'y'=2shxch'x+shrch'x=3shxch'x 17.y=arshr arthx arthx arshx 五、复合函数求导 1、复合函数的求导法则 定理、如果函数u=p(x)在x点可导，函数y=fu)在相应的u点可导，则复合函数y=几p(x] 在x点可导，且 第10页一共28页 票床安