E为开集 证明:只要证Ec(E) 任取x∈E,由内点的定义知6>0使得OacE 任取y∈O (x,6) 取6"=6-d(x,y) 则 (y,6) O (x,6) E 从而y为E的内点,从而OoCE 所以x为E的内点,即x∈(E) (y,6) 从而Ec(E"),即E为开集 注:E为含于E内的最大开集 x,)
Eº为开集 注： Eº为含于E内的最大开集 从而E (E ) ，即E 为开集 则O( y, ') O( x, ) E O( y, ') E O(x, ) E x(E ) 从而y为E的内点，从而 所以x为Eº的内点，即 证明：只要证 E (E ) O( x, ) 0,使得O( x, ) E 任取 x E ，由内点的定义知 O( x, ) 任取 y ，取 ' = − d(x, y)
E`为闭集 (x,) 证明:只要证(E)ycE 任取x∈(E),由聚点的定义知 E (x2") V8>0,有O1x6)∩(E-{x})≠Φ 取∈O1,(E-(),由x∈E 知V6>0.有O11(E-{x"})≠中 (当6<min{6-d(x,x)(x)时,有xEOO
E`为闭集 0,有O( x, ) (E'−{x}) O( x, ) ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O − − 知 有 当 时,有x ） E O( x' , ') ( , ) ' ( ' { }) ' ' x 取x O E x x E − ，由 (E')' E' x(E')' 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知