矢量分析导论 设A=40,三0和=0可导，则有： 1° dc-0 (一常矢量) 4° d dà (u= dt + dt dt 2° da±商 dA,dB 5° a商-盟i+a d d dt dt 3° c网- 一常数) d 6° ax=4xi+ix西 dt dt 7° 复合函数的导数 设A=A(u),u=u(⊙，则： da、 dA du dt du dt 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 13
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 13 矢量分析导论 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ·矢性函数的微分 ·定义daA(t0d 矢性函数的微分是个矢量，且在矢端曲线1上 处的切线方向，但不恒指向增大的一方，当 △>0时，与0方向一致（增大一方）；而 当△1<0时，与40相反（减小一方） 微分同样可以用分量的形式表述出来： dA=A'(t)dt =[A.(t)+A,(t)A(t)dt A:(t)dt +A,(t)dt +A.(t)dt2 dA+dA+dA. 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 14
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 14 矢量分析导论 矢性函数的微分 矢性函数的微分 • 定义 • 矢性函数的微分是一个矢量，且在矢端曲线 矢性函数的微分是一个矢量，且在矢端曲线l上 t处的切线方向，但不恒指向 处的切线方向，但不恒指向t增大的一方，当 增大的一方，当 时，与 方向一致（t增大一方）；而 增大一方）；而 当 时，与 相反（t减小一方） • 微分同样可以用分量的形式表述出来： 微分同样可以用分量的形式表述出来： = ′ )( dttAAd r r Δt > 0 ′ tA )( r ′ tA )( r Δ <t 0 dtztAytAxtAdttAAd x y z = ′ = ′ )([)( ˆ + ′ )( ˆ + ′ )( ˆ] r r = x ′ )( ˆ + ′y )( ˆ + z′ )( zdttAydttAxdttA ˆ ˆ ˆ ˆ xyz = dA x dA y dA z + + XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 矢性函数的积分 ·不定积分 。 若在的某个区间[a,]上，B()=A(),则称Bt为4d) 在该区间上的一个原函数，而4()的全体原函数称之为 此区间上的不定积分。记为： A(t)dt 常矢的导数为0，若B()为A0的广个原函数，则Ad) 的全体原函数为)+。，其中C为任意常矢。 因此有： A(t)dt B(t)+ 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 15
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 15 矢量分析导论 矢性函数的积分 矢性函数的积分 • 不定积分 • 若在t的某个区间[a，b]上， ，则称 为 在该区间上的一个原函数，而 在该区间上的一个原函数，而 的全体原函数称之为 的全体原函数称之为 此区间上的不定积分。记为： 此区间上的不定积分。记为： • 常矢的导数为0，若 为 的一个原函数，则 的一个原函数，则 的全体原函数为 的全体原函数为 ，其中 为任意常矢。 • 因此有： tAtB )()( r r ′ = B t( ) r tA )( r tA )( r ∫ )( dttAr B t( ) r tA )( r tA )( r B t() c + r r c r ∫ += ctBdttA r r r )()( XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 不定积分性质 I°Jka(ld=∫aod 4°∫a.A0d=a40d 2°JA0±B01d=∫A0d±∫B0山 5°∫ax40d=a×∫4A0d 3°∫u0ad=au0d 其中k是常数，ā是常矢量 6°换元积分法：设A(d具有原 函数B(,u=p)可导，则B[p)为 79 部分积分法 Au()]u'()的原函数，即 「40×(0d=A0xB0「A0xB0d (dr=B1+ 若A=A,)+A,0+A)2,则根据2°，3°有 ∫A(0d=A,0d+j∫A,0+jA0d 将一个矢性函数的不定积分转化为三个数性函数的不定积分 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 16
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 16 矢量分析导论 不定积分性质 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 定积分 ·矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿 一莱布尼兹公式的计算公式： ·若)是A0在区间[T,T]上的一个原函数， 则： Adr=B(T)-B) 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 17 矢量分析导论 定积分 • 矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿 矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿 ―莱布尼兹公式的计算公式： 莱布尼兹公式的计算公式： • 若 是 在区间[T1，T2]上的一个原函数， 上的一个原函数， 则： tB )( r tA )( r )()()( 2 1 ∫ 2 −= 1 TT TBTBdttAr r r XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN